Latar belakang dan rumusan masalah

Pemisahan plasma darah dari darah utuh bertujuan menghasilkan fase cair untuk analisis biomarker sambil mempertahankan komponen seluler pada jalur retentat. Pada skala mikro, proses ini mempertemukan mekanika fluida, transport melalui membran, karakteristik suspensi, dan kebutuhan mempertahankan kualitas sampel.

Dalam konfigurasi cross-flow, darah mengalir sejajar dengan membran, sedangkan sebagian fase cair melintasi membran akibat beda tekanan transmembran. Perancangan perlu mempertimbangkan hambatan kanal dan resistansi membran secara bersamaan karena tekanan penggerak filtrasi berubah sepanjang kanal.

Rumusan masalah kajian ini adalah bagaimana dimensi mikrokanal, debit masuk, viskositas, TMP efektif, permeabilitas, ketebalan membran, dan fouling memengaruhi distribusi tekanan, debit filtrat, recovery plasma ideal, serta hematokrit retentat.

Tujuan komputasi adalah menyusun hubungan masukan–persamaan–keluaran yang transparan secara satuan, menyelesaikan kopling debit dan tekanan pada arah aksial, serta memeriksa konservasi volume dan ketelitian diskretisasi.

Rencana perancangan dan tahapan penelitian

Penelitian dirancang sebagai computational proof of concept. Kanal persegi panjang direpresentasikan oleh elemen aksial yang kehilangan sebagian debit melalui membran. Kondisi awal menggunakan 60 elemen. Jumlah elemen dapat diperhalus untuk menguji konvergensi.

4 Pemodelan matematis sistem kanal dan membran

4.1 Domain dan asumsi

Koordinat x dimulai dari inlet sampai outlet retentat. Variabel yang dicari adalah debit aksial Q(x) dan TMP efektif p(x). Cakupan membran dianggap tersebar merata sepanjang kanal. Jika membran hanya menutupi bagian tertentu, cakupan perlu dinyatakan sebagai fungsi posisi.

1. Aliran stasioner dan inkompresibel; volume sel dan plasma dianggap aditif.
2. Darah merupakan medium kontinu Newtonian dengan viskositas efektif konstan.
3. Kanal kaku dan memiliki penampang seragam, dengan tinggi tidak melebihi lebar.
4. Hubungan Poiseuille diterapkan secara lokal; kehilangan masuk, manifold, dan deformasi kanal diabaikan.
5. Seluruh sel diasumsikan tertahan; hanya fase cair yang menembus membran.
6. Permeabilitas, ketebalan, dan rasio resistansi fouling dianggap konstan.
7. Tekanan filtrat serta kontribusi osmotik efektif konstan. Aliran balik belum dimodelkan.

4.2 Geometri dan konservasi volume

Luas penampang digunakan untuk menghitung kecepatan aksial, sedangkan luas membran digunakan untuk filtrasi. Keduanya memiliki satuan luas tetapi merupakan permukaan yang berbeda.

Neraca elemen menyatakan bahwa debit masuk sama dengan debit menuju hilir ditambah debit yang melintasi membran. Limit elemen yang semakin kecil menghasilkan persamaan diferensial konservasi volume.

Dengan retensi sel sempurna, debit volume sel Qc tetap. Pengambilan plasma meningkatkan hematokrit lokal secara aljabar. Debit filtrat tidak boleh melampaui volume plasma yang tersedia pada inlet.

Hematokrit yang mendekati 100% tidak dapat ditafsirkan sebagai kondisi operasi yang didukung model. Asumsi viskositas konstan dan suspensi yang tetap mengalir dapat kehilangan ketepatan sebelum batas volume tersebut tercapai.

4.3 Momentum dan resistansi hidraulik

Persamaan momentum fluida Newtonian menjadi dasar hubungan tekanan dengan debit. Untuk aliran yang berkembang penuh secara lokal dan didominasi viskos, persamaan aksial dapat direduksi menjadi keseimbangan gradien tekanan dan difusi momentum.

Solusi Poiseuille pada penampang persegi panjang menggunakan koreksi aspek f. Koreksi ini mempertimbangkan pengaruh kedua dimensi penampang terhadap hambatan aliran (Mortensen et al., 2005).

R′h adalah resistansi per satuan panjang dengan satuan Pa·s/m⁴. Ketika filtrasi berlangsung, debit aksial menurun. Oleh karena itu, penurunan tekanan harus diperoleh dari integral debit lokal, bukan dengan mengalikan resistansi total dan debit inlet untuk seluruh kanal.

4.4 TMP efektif dan hukum Darcy

TMP efektif berbeda dari penurunan tekanan aksial. Tekanan ini merupakan tekanan hidraulik darah terhadap sisi filtrat setelah dikurangi kontribusi osmotik efektif.

Koefisien refleksi σ dan beda tekanan osmotik Δπ dirangkum sebagai kontribusi konstan dalam masukan TMP efektif. Pengurangan osmotik tidak dilakukan untuk kedua kalinya.

Resistansi seri membagi hambatan menjadi resistansi membran dan fouling. Pendekatan resistansi seri digunakan dalam pemodelan membran oleh Cunha et al. (2014).

Persamaan Darcy menggunakan viskositas filtrat μp, sedangkan resistansi kanal menggunakan viskositas darah μb. Permeabilitas intrinsik κ memiliki satuan m² dan berbeda dari permeansi hidraulik Km yang bersatuan m/(Pa·s). Ukuran pori nominal tidak otomatis menentukan keduanya.

Fungsi maksimum membatasi perhitungan pada filtrasi maju. Hal ini tidak menyatakan bahwa membran nyata memiliki sifat katup satu arah.

4.5 Sistem terkopel dan kondisi batas

Kedua kondisi inlet membentuk masalah nilai awal terhadap koordinat ruang. Tekanan outlet merupakan hasil komputasi. Tekanan tersebut tidak dapat sekaligus dipaksa menjadi nol tanpa mengubah salah satu kondisi masukan.

Secara fisik, pasangan debit dan TMP inlet memerlukan pengaturan tekanan hilir atau tahanan outlet yang sesuai. Jika tekanan outlet diketahui, model perlu dirumuskan sebagai masalah batas dengan salah satu nilai inlet dicari melalui penyelesaian tambahan.

4.6 Besaran turunan

Tegangan geser menggunakan pendekatan pelat sejajar. Nilainya bukan hasil penyelesaian tegangan maksimum pada seluruh keliling kanal. Fraksi filtrasi memakai debit darah sebagai penyebut, sedangkan recovery memakai debit plasma yang tersedia.

Volume filtrat Qp × t berlaku bagi suplai kontinu dengan kondisi tetap. Persamaan ini tidak menggambarkan batch tertutup atau resirkulasi yang mengubah komposisi.

5 Metode numerik dan diskretisasi

5.1 Pembagian domain ruang

Kanal dibagi menjadi N segmen seragam dan N+1 titik batas. Debit serta tekanan disimpan pada titik batas. Fluks dihitung pada representasi titik tengah setiap segmen. Diskretisasi ini merupakan pembagian ruang, bukan waktu.

5.2 Pemotongan deret geometri

Deret tak hingga faktor koreksi aspek dihitung menggunakan 200 suku ganjil, sampai n = 399. Kecukupannya dapat diperiksa dengan membandingkan hasil 200 dan 400 suku. Galat deret dibedakan dari galat panjang elemen.

5.3 Prediktor tekanan titik tengah

Gradien tekanan pada awal elemen digunakan untuk memperkirakan tekanan setelah menempuh setengah elemen. Perkiraan ini menjadi tekanan penggerak filtrasi lokal.

5.4 Kuadratur titik tengah untuk filtrasi

Integral fluks diwakili oleh fluks titik tengah dikalikan luas membran segmen. Debit aksial berikutnya diperoleh dari neraca volume.

5.5 Korektor trapesium untuk tekanan

Setelah debit keluar elemen diketahui, debit rata-rata kedua ujung digunakan untuk menghitung penurunan tekanan. Skema ini eksplisit karena debit berikutnya telah tersedia sebelum tekanan berikutnya dievaluasi.

Penggunaan rerata dua ujung tidak dengan sendirinya menjadikan skema ini metode trapesium implisit atau Crank–Nicolson. Tidak terdapat sistem aljabar global yang diselesaikan pada setiap langkah.

5.6 Orde ketelitian

Untuk koefisien konstan dan TMP positif, ekspansi Taylor menunjukkan bahwa skema mencocokkan solusi eksak hingga suku pangkat dua. Galat satu langkah pada nilai solusi berorde Δx³, sedangkan galat global berorde Δx². Dasar pemeriksaan orde melalui ekspansi Taylor dibahas dalam catatan Persson.

Orde tersebut berlaku pada wilayah solusi yang halus. Ketika TMP melintasi nol atau batas plasma aktif, konvergensi perlu diperiksa kembali.

5.7 Pemeriksaan domain fisik

Jika filtrat yang diprediksi melampaui plasma tersedia, parameter ditandai tidak valid. Debit tidak dipotong diam-diam lalu tetap diklaim memenuhi Darcy. Ketika TMP tidak positif, fluks maju menjadi nol dan kondisi ini dilaporkan sebagai keterbatasan model.

6 Algoritma komputasi

1. Membaca parameter dan mengonversikan seluruh satuan ke SI.
2. Memeriksa domain parameter serta menghitung geometri dan koefisien hidraulik.
3. Menginisialisasi debit dan tekanan pada inlet.
4. Memprediksi TMP titik tengah setiap elemen.
5. Menghitung fluks Darcy, filtrat lokal, dan debit keluar elemen.
6. Memeriksa batas ketersediaan plasma.
7. Mengoreksi tekanan menggunakan debit rata-rata kedua ujung.
8. Mengulangi proses hingga outlet dan menghitung metrik serta residual.

MASUKAN seluruh parameter dalam SI
N = jumlah elemen
M = 200 suku deret ganjil

dx = L / N
Hitung f, b, Km dan a
Qc = Hin × Qin

Q[0] = Qin
p[0] = pin
Qp_total = 0

UNTUK i = 0 sampai N-1:
    p_mid = p[i] - 0.5 × b × Q[i] × dx
    J = Km × max(p_mid, 0)
    dQp = J × etaA × w × dx

    JIKA dQp > Q[i] - Qc:
        HENTIKAN: batas plasma terlampaui

    Q[i+1] = Q[i] - dQp

    JIKA Q[i+1] <= 0:
        HENTIKAN: debit tidak valid

    Q_avg = 0.5 × (Q[i] + Q[i+1])
    dP = b × Q_avg × dx
    p[i+1] = p[i] - dP

    Qp_total = Qp_total + dQp
    H[i+1] = Qc / Q[i+1]

SIMPAN profil pada N+1 titik
HITUNG filtrat, retentat, recovery dan residual
TAMPILKAN hasil dan ekspor CSV

Kompleksitas waktu adalah O(M+N), sedangkan penyimpanan profil membutuhkan O(N). Animasi partikel memakai hasil hidraulik sebagai ilustrasi. Kecepatan animasi tidak merupakan hasil penyelesaian lintasan sel.

7 Contoh perhitungan parameter awal

Contoh ini memakai panjang 20 mm, lebar 1 mm, tinggi 200 µm, cakupan membran 80%, ketebalan 20 µm, debit 50 µL/menit, viskositas darah 3,5 mPa·s, viskositas filtrat 1,2 mPa·s, hematokrit 40%, TMP inlet 10 kPa, κ = 10⁻¹⁷ m², dan fouling relatif 0,5.

Angka pada bagian ini selalu mengacu pada parameter awal. Dasbor dan laboratorium numerik mengikuti masukan aktif.

7.1 Konversi satuan dan koefisien

7.2 Perhitungan elemen pertama

Filtrat elemen pertama setara dengan sekitar 0,044440736 µL/menit. Debit aksial keluar elemen menjadi 49,955559264 µL/menit. Urutan yang sama diulangi sampai elemen terakhir dengan tekanan dan debit yang selalu diperbarui.

7.3 Hasil integral

Digit tambahan digunakan untuk audit numerik, bukan untuk menyatakan ketelitian pengukuran. TMP inlet 10 kPa berbeda dari penurunan tekanan kanal sekitar 97,46 Pa. Tekanan efektif outlet masih sekitar 9,90254 kPa.

Pada suplai kontinu 50 µL/menit selama 10 menit, dibutuhkan 500 µL darah masuk yang secara ideal mengandung 300 µL plasma. Volume filtrat yang dihitung berasal dari suplai kontinu tersebut.

8 Verifikasi numerik dan sensitivitas

8.1 Residual konservasi

Verifikasi memeriksa apakah persamaan dihitung dengan benar. Validasi memeriksa apakah model mewakili alat nyata. Residual yang mendekati pembulatan mesin menunjukkan konsistensi neraca, tetapi tidak membuktikan retensi sel atau ketepatan parameter.

8.2 Solusi analitik pembanding

Ketika koefisien konstan dan TMP positif di seluruh kanal, sistem memiliki solusi analitik berbentuk fungsi hiperbolik. Solusi ini diperoleh dengan mendiferensiasikan kembali persamaan debit dan menerapkan kedua kondisi inlet.

Untuk parameter awal, debit filtrat analitik sekitar 2,653554052 µL/menit. Solusi tersebut tidak boleh diteruskan melewati domain TMP negatif atau pengambilan plasma yang melampaui ketersediaan volume.

8.3 Konvergensi jumlah elemen

Pelipatan jumlah elemen pada parameter awal menurunkan galat sekitar empat kali, sesuai orde dua. Hasil tersebut mendukung penggunaan 60 elemen untuk kondisi awal, tetapi tidak otomatis berlaku bagi semua kombinasi parameter.

Ekstrapolasi Richardson memerlukan hasil yang telah berada pada daerah konvergensi asimtotik. Ketika perbedaan antargrid sudah mendekati pembulatan mesin, perkiraan orde dapat menjadi tidak andal.

8.4 Uji batas dan arah respons

• Permeabilitas nol menghasilkan filtrat nol dan debit aksial tetap.
• Peningkatan TMP meningkatkan filtrasi selama domain model tetap valid.
• Peningkatan resistansi fouling menurunkan filtrasi.
• Penghalusan grid mendekatkan hasil pada solusi analitik.
• Prediksi yang melebihi plasma tersedia harus ditandai tidak valid.

8.5 Pembanding TMP seragam

Pada parameter awal, TMP seragam menghasilkan 2,666667 µL/menit, sekitar 0,494% lebih tinggi daripada model terkopel. Perbedaannya kecil karena kehilangan tekanan aksial hanya sekitar 0,975% dari TMP inlet.

Pada kanal dengan hambatan lebih tinggi atau TMP lebih rendah, pendekatan seragam perlu ditinjau kembali. Pengurangan tinggi kanal sangat meningkatkan hambatan karena ketergantungan mendekati h⁻³.

9 Interpretasi dan batas penggunaan hasil

Model menjelaskan hubungan antara geometri, tekanan, resistansi aliran, dan filtrasi ideal. Kenaikan hematokrit retentat merupakan konsekuensi neraca volume dengan asumsi seluruh sel tertahan.

Keberhasilan biologis memerlukan pemeriksaan jumlah sel yang lolos, hemoglobin bebas, serta pemulihan biomarker. Kim et al. (2021) membahas kebutuhan evaluasi komponen plasma pada perangkat membran mikrofluidik. Hasil perangkat tersebut tidak digunakan sebagai validasi parameter kalkulator ini.

Pengembangan model memerlukan pengukuran permeansi, pengaruh hematokrit terhadap viskositas, fouling terhadap waktu, dan kemungkinan perubahan tekanan filtrat. Ketika koefisien berubah secara lokal, solusi analitik dengan koefisien konstan tidak langsung berlaku.

Daftar pustaka

Mortensen, N. A., Okkels, F., & Bruus, H. (2005). Reexamination of Hagen–Poiseuille flow: Shape dependence of the hydraulic resistance in microchannels. Physical Review E, 71, 057301. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.71.057301

Cunha, A. de L., Souza, J. S. de, Farias Neto, S. R. de, Lima, A. G. B. de, & Barbosa, E. S. (2014). Separation process by porous membranes: A numerical investigation. Advances in Mechanical Engineering, 6, 469693. https://doi.org/10.1155/2014/469693

Persson, P.-O. (tanpa tahun). Chapter 5 Initial-value problems for ordinary differential equations. University of California, Berkeley. Catatan kuliah metode numerik.

Kim, J., Yoon, J., Byun, J.-Y., Kim, H., Han, S., Kim, J., Lee, J. H., Jo, H.-S., & Chung, S. (2021). Nano-interstice driven powerless blood plasma extraction in a membrane filter integrated microfluidic device. Sensors, 21(4), 1366. https://doi.org/10.3390/s21041366