1. DEFINISI SISTEM FISIK
Sistem yang dikaji adalah sebuah ruangan yang menggunakan Air Conditioner (AC) sebagai sistem pendingin. Temperatur di dalam ruangan mengalami perubahan terhadap waktu akibat perpindahan panas dari lingkungan luar, beban panas internal, dan proses pendinginan oleh AC.
Dalam pemodelan ini, ruangan dianggap sebagai satu zona termal (single-zone thermal model), sehingga temperatur udara di dalam ruangan diasumsikan seragam pada setiap waktu.
Terdapat tiga komponen utama yang memengaruhi perubahan temperatur:
- Perpindahan panas lingkungan: panas yang masuk atau keluar melalui dinding, atap, dan selubung ruangan.
- Beban panas internal: panas yang berasal dari manusia, lampu, dan peralatan elektronik.
- Pendinginan AC: panas yang dikeluarkan dari ruangan oleh sistem pendingin.
Variabel utama yang dicari adalah temperatur ruangan sebagai fungsi waktu, yaitu T(t).
2. ASUMSI PEMODELAN
Untuk menyederhanakan sistem fisik menjadi model matematis, digunakan beberapa asumsi berikut:
- Ruangan dianggap sebagai satu zona dengan temperatur seragam.
- Kapasitas panas efektif ruangan dianggap konstan.
- Temperatur lingkungan luar dianggap konstan.
- Beban panas internal dianggap konstan.
- Kapasitas pendinginan AC dianggap konstan selama simulasi.
- Perpindahan panas melalui selubung ruangan direpresentasikan menggunakan parameter UA.
- Perubahan energi kinetik dan energi potensial diabaikan.
- Sistem kontrol termostat AC belum diperhitungkan.
3. LANDASAN MATEMATIS: HUKUM I TERMODINAMIKA
Pemodelan matematis didasarkan pada Hukum I Termodinamika, yaitu prinsip kekekalan energi.
Secara umum, persamaan kekekalan energi dapat dituliskan:
Persamaan (1):
dE/dt = Q_masuk – Q_keluar
Energi termal ruangan direpresentasikan menggunakan kapasitas panas efektif:
Persamaan (2):
dE = C_eff * dT
Sehingga:
Persamaan (3):
dE/dt = C_eff * (dT/dt)
Perpindahan panas dari lingkungan melalui selubung ruangan dinyatakan sebagai:
Persamaan (4):
Q_environment = UA * (T_out – T)
Dengan mempertimbangkan beban panas internal dan proses pendinginan AC, diperoleh persamaan neraca energi ruangan.
Persamaan (5) — Governing Equation:
C_eff * (dT/dt) = UA * (T_out – T) + Q_internal – Q_AC
Keterangan:
- C_eff = Kapasitas panas efektif ruangan (J/K).
- T = Temperatur ruangan (°C).
- T_out = Temperatur lingkungan luar (°C).
- UA = Konduktansi termal keseluruhan (W/K).
- Q_internal = Beban panas internal (W).
- Q_AC = Kapasitas pendinginan AC (W).
- t = Waktu (s).
4. PENYEDERHANAAN MODEL MATEMATIS
Persamaan neraca energi disusun kembali untuk mendapatkan laju perubahan temperatur terhadap waktu.
Persamaan (6):
dT/dt = [UA * (T_out – T) + Q_internal – Q_AC] / C_eff
Untuk menyederhanakan model, didefinisikan konstanta laju termal:
Persamaan (7):
k = UA / C_eff
Selanjutnya, temperatur kesetimbangan matematis didefinisikan sebagai:
Persamaan (8):
T_ss = T_out + (Q_internal – Q_AC) / UA
Dengan menggunakan kedua definisi tersebut, persamaan diferensial dapat disederhanakan menjadi:
Persamaan (9):
dT/dt = k * (T_ss – T)
Persamaan tersebut merupakan Ordinary Differential Equation (ODE) orde satu karena melibatkan turunan temperatur terhadap satu variabel bebas, yaitu waktu.
5. SOLUSI ANALITIS
Persamaan diferensial pada Persamaan (9) dapat diselesaikan menggunakan metode pemisahan variabel dengan kondisi awal:
T(0) = T_0
Diperoleh solusi analitis:
Persamaan (10):
T(t) = T_ss + (T_0 – T_ss) * exp(-k * t)
Karena k = UA / C_eff, persamaan dapat ditulis kembali:
T(t) = T_ss + (T_0 – T_ss) * exp[-(UA / C_eff) * t]
Solusi analitis ini digunakan sebagai pembanding untuk mengevaluasi ketelitian hasil penyelesaian numerik menggunakan metode Forward Euler.
6. METODE NUMERIK: FORWARD EULER
Metode numerik yang digunakan adalah Forward Euler atau Euler Maju. Metode ini merupakan metode eksplisit untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan memperkirakan nilai variabel pada waktu berikutnya berdasarkan nilai dan laju perubahannya pada waktu saat ini.
Rumus umum Forward Euler:
Persamaan (11):
y_(n+1) = y_n + delta_t * f(t_n, y_n)
Dengan menerapkan metode tersebut pada persamaan perubahan temperatur ruangan, diperoleh:
Persamaan (12):
(T_(n+1) – T_n) / delta_t = [UA * (T_out – T_n) + Q_internal – Q_AC] / C_eff
Sehingga persamaan numerik utama menjadi:
Persamaan (13) — Forward Euler:
T_(n+1) = T_n + (delta_t / C_eff) * [UA * (T_out – T_n) + Q_internal – Q_AC]
Keterangan:
- T_(n+1) = Temperatur pada langkah waktu berikutnya.
- T_n = Temperatur pada langkah waktu saat ini.
- delta_t = Interval waktu atau time step (s).
- C_eff = Kapasitas panas efektif ruangan (J/K).
Perhitungan dilakukan secara berulang (time-stepping). Temperatur yang diperoleh pada satu langkah digunakan sebagai kondisi awal untuk menghitung temperatur pada langkah berikutnya sampai waktu simulasi tercapai.
7. PARAMETER SIMULASI
Parameter awal yang digunakan dalam pemodelan ditunjukkan pada tabel berikut.
| Parameter | Simbol | Nilai | Satuan |
| Temperatur awal | T_0 | 30 | °C |
| Temperatur lingkungan luar | T_out | 33 | °C |
| Kapasitas panas efektif | C_eff | 2.000.000 | J/K |
| Konduktansi termal | UA | 80 | W/K |
| Beban panas internal | Q_internal | 700 | W |
| Kapasitas pendinginan AC | Q_AC | 3.500 | W |
| Langkah waktu | delta_t | 60 | s |
Catatan: seluruh parameter merupakan nilai asumsi ilustratif untuk keperluan pemodelan, bukan data hasil pengukuran ruangan nyata.
8. CONTOH PERHITUNGAN NUMERIK
Diketahui:
T_0 = 30 °C
T_out = 33 °C
C_eff = 2.000.000 J/K
UA = 80 W/K
Q_internal = 700 W
Q_AC = 3.500 W
delta_t = 60 s
8.1 Menghitung laju perubahan temperatur awal
Menggunakan Persamaan (6):
dT/dt = [UA * (T_out – T) + Q_internal – Q_AC] / C_eff
Substitusi nilai parameter:
dT/dt = [80 * (33 – 30) + 700 – 3500] / 2.000.000
dT/dt = [240 + 700 – 3500] / 2.000.000
dT/dt = -2560 / 2.000.000
dT/dt = -0,00128 °C/s
8.2 Menghitung temperatur setelah 60 detik
Menggunakan Persamaan (13):
T_1 = T_0 + delta_t * (dT/dt)_0
T_1 = 30 + 60 * (-0,00128)
T_1 = 30 – 0,0768
T_1 = 29,9232 °C
Berdasarkan satu langkah perhitungan, temperatur ruangan diperkirakan turun dari 30 °C menjadi 29,9232 °C setelah 60 detik.
9. ALGORITMA KOMPUTASI
Algoritma komputasi digunakan untuk menerjemahkan persamaan matematis ke dalam langkah-langkah yang dapat dijalankan oleh komputer.
Urutan algoritma adalah sebagai berikut:
- Mulai.
- Masukkan parameter sistem, yaitu T_0, T_out, C_eff, UA, Q_internal, dan Q_AC.
- Tentukan interval waktu (delta_t) dan total waktu simulasi.
- Inisialisasi temperatur T = T_0 dan waktu t = 0.
- Hitung laju perubahan temperatur menggunakan persamaan neraca energi.
- Hitung temperatur berikutnya menggunakan metode Forward Euler.
- Simpan nilai temperatur dan waktu.
- Perbarui nilai temperatur dan waktu.
- Ulangi proses selama waktu simulasi belum tercapai.
- Tampilkan hasil perhitungan dan grafik temperatur terhadap waktu.
- Selesai.
10. EVALUASI NUMERIK DAN ANALISIS SENSITIVITAS
Untuk mengevaluasi hasil metode Forward Euler, hasil numerik dibandingkan dengan solusi analitis dari model yang sama.
Error absolut dihitung menggunakan:
Persamaan (14):
Error_abs = abs(T_Euler – T_analitis)
Selain evaluasi error, dilakukan analisis sensitivitas untuk mengetahui pengaruh perubahan parameter sistem terhadap respons temperatur ruangan.
10.1 Analisis Sensitivitas Koefisien Perpindahan Panas (UA)
Variasi parameter UA yang direncanakan:
| Kondisi | Nilai UA |
| 1 | 60 W/K |
| 2 | 80 W/K |
| 3 | 100 W/K |
Analisis ini bertujuan mengetahui pengaruh perubahan karakteristik perpindahan panas selubung ruangan terhadap respons temperatur.
10.2 Analisis Sensitivitas Langkah Waktu (delta_t)
Variasi langkah waktu yang direncanakan:
| Kondisi | Langkah waktu |
| 1 | 60 detik |
| 2 | 30 detik |
| 3 | 10 detik |
Analisis ini bertujuan mengetahui pengaruh ukuran langkah waktu terhadap ketelitian hasil perhitungan Forward Euler.
11. KETERBATASAN MODEL
Model awal menggunakan kapasitas pendinginan AC konstan. Berdasarkan parameter ilustratif yang digunakan, temperatur kesetimbangan matematis diperoleh:
T_ss = T_out + (Q_internal – Q_AC) / UA
T_ss = 33 + (700 – 3500) / 80
T_ss = 33 – 35
T_ss = -2 °C
Nilai tersebut merupakan temperatur kesetimbangan matematis berdasarkan asumsi model, bukan temperatur ruangan nyata yang diharapkan dicapai.
Hal ini menunjukkan keterbatasan penggunaan kapasitas pendinginan AC konstan untuk simulasi jangka panjang. Pengembangan model selanjutnya dapat memasukkan sistem kontrol termostat atau kapasitas pendinginan yang berubah mengikuti kebutuhan pendinginan ruangan.
KESIMPULAN PEMODELAN
Model matematis perubahan temperatur ruangan ber-AC dibangun berdasarkan Hukum I Termodinamika melalui prinsip kekekalan energi. Persamaan neraca energi menghasilkan persamaan diferensial biasa orde satu yang menggambarkan perubahan temperatur terhadap waktu.
Persamaan tersebut kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode Forward Euler. Proses perhitungan dilakukan secara berulang berdasarkan temperatur dan laju perubahan temperatur pada langkah waktu sebelumnya.
Dengan demikian, model matematis dan algoritma komputasi ini digunakan untuk memperkirakan perubahan temperatur ruangan ber-AC terhadap waktu serta mengevaluasi ketelitian hasil numerik melalui perbandingan dengan solusi analitis.
Zacky Ar Rizqi
