ccitonline.com

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh, pada tahap lanjutan karya ilmiah ini dilakukan pengembangan analisis matematis dan implementasi metode numerik yang lebih mendalam terhadap sistem getaran kapal. Model sistem massa–pegas–redaman yang sebelumnya telah dibuat kemudian diturunkan ke dalam bentuk persamaan diferensial standar untuk mempermudah proses komputasi numerik. Persamaan dasar sistem dinyatakan sebagai:

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$mx¨+cx˙+kx=F(t)

Persamaan tersebut menggambarkan hubungan antara massa kapal, gaya redaman, kekakuan struktur, dan gaya luar yang bekerja terhadap kapal. Dalam model ini, nilai simpangan getaran kapal dinyatakan sebagai fungsi waktu sehingga respons dinamis sistem dapat diamati selama simulasi berlangsung.

Agar persamaan diferensial orde dua dapat diselesaikan menggunakan metode numerik, persamaan diubah menjadi sistem persamaan diferensial orde satu dengan melakukan substitusi variabel:

$v=\dot{x}$v=x˙

sehingga diperoleh bentuk:

$\dot{v}=\frac{F(t)-cv-kx}{m}$v˙=mF(t)−cv−kx​

Transformasi ini dilakukan karena metode Runge-Kutta orde 4 bekerja lebih efektif pada sistem persamaan orde satu. Pada proses simulasi, interval waktu dibagi menjadi langkah-langkah kecil agar perubahan simpangan dan kecepatan getaran dapat dihitung secara bertahap pada setiap iterasi.

Dalam implementasinya, metode Runge-Kutta orde 4 digunakan untuk memperoleh solusi numerik dengan tingkat akurasi yang lebih baik dibandingkan metode Euler biasa. Persamaan umum yang digunakan pada metode Runge-Kutta adalah:

$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$yn+1​=yn​+61​(k1​+2k2​+2k3​+k4​)

dengan nilai:$$k_1 = hf(t_n,y_n)$$k1​=hf(tn​,yn​) $$k_2 = hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}\right)$$k2​=hf(tn​+2h​,yn​+2k1​​) $$k_3 = hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2}\right)$$k3​=hf(tn​+2h​,yn​+2k2​​) $$k_4 = hf(t_n+h,y_n+k_3)$$k4​=hf(tn​+h,yn​+k3​)

Melalui metode ini, respons getaran kapal terhadap waktu dapat dihitung secara lebih stabil dan akurat. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa amplitudo getaran meningkat secara signifikan ketika frekuensi gaya luar mendekati frekuensi alami sistem kapal, yang menunjukkan indikasi resonansi.

Untuk menentukan frekuensi alami sistem, digunakan persamaan karakteristik dari sistem getaran bebas tanpa gaya luar:

$m\lambda^2+c\lambda+k=0$mλ2+cλ+k=0

Selanjutnya, metode Newton-Raphson diterapkan untuk mencari akar persamaan karakteristik secara iteratif menggunakan pendekatan:

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​

Metode ini digunakan karena mampu memperoleh solusi akar dengan konvergensi yang cepat apabila diberikan tebakan awal yang sesuai. Dari hasil perhitungan diperoleh nilai frekuensi alami kapal yang menjadi parameter penting dalam analisis resonansi dan kestabilan struktur kapal.

Selain analisis domain waktu, dilakukan juga analisis domain frekuensi menggunakan Transformasi Fourier untuk mengetahui spektrum getaran yang muncul pada sistem. Persamaan Fourier yang digunakan dapat dinyatakan sebagai:

$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$X(f)=∫−∞∞​x(t)e−j2πftdt

Melalui transformasi ini, data getaran yang sebelumnya berada pada domain waktu dapat diubah menjadi domain frekuensi sehingga frekuensi dominan pada sistem dapat diidentifikasi dengan lebih mudah. Hasil analisis menunjukkan bahwa frekuensi yang berasal dari putaran mesin dan eksitasi gelombang laut menjadi komponen dominan yang mempengaruhi respons getaran kapal.

Berdasarkan pengembangan analisis matematis dan metode numerik yang telah dilakukan, diperoleh pemahaman bahwa kombinasi metode Runge-Kutta, Newton-Raphson, dan Transformasi Fourier sangat efektif dalam memodelkan serta menganalisis karakteristik getaran kapal. Penggunaan metode numerik memungkinkan proses analisis dilakukan secara lebih efisien tanpa memerlukan pengujian eksperimen secara langsung. Pada tahap berikutnya, penelitian akan difokuskan pada optimasi parameter redaman, pengembangan model multi-degree of freedom (MDOF), serta evaluasi sistem peredam getaran untuk meningkatkan keamanan dan performa operasional kapal.