1. Galat, deret Taylor, dan arti kata “orde”

Semua metode numerik lahir dari satu langkah yang sama: memotong deret Taylor. Karena itu bagian ini bukan pemanasan, melainkan sumber hampir setiap rumus di bab-bab berikutnya.

Asal-usulnya, pelan-pelan

Fungsi mulus f di sekitar titik x_i ditulis penuh sebagai

Suku pertama nilai di titiknya sendiri; suku kedua koreksi linear; sisanya koreksi lengkungan. Sekarang pisahkan f′(x_i), lalu kumpulkan semua yang dibuang dalam satu simbol:

Kalimat “galatnya orde h” berarti tepat satu hal yang bisa diuji: suku sisa terbesar sebanding dengan h¹, sehingga kalau h dibagi dua, galat ikut turun setengah. Bukan lebih, bukan kurang.

Mengapa beda terpusat jauh lebih baik

Tulis dua deret, satu maju dan satu mundur, lalu kurangkan. Suku f″ bertanda sama pada keduanya, jadi lenyap:

Satu suku hilang, orde naik satu tingkat — dan biayanya sama: tetap dua evaluasi fungsi. Ini pola yang berulang terus: ketepatan sering datang dari susunan, bukan dari kerja tambahan. Dengan cara yang sama, menjumlahkan kedua deret menghilangkan suku ganjil dan memberi turunan kedua — rumus yang nanti muncul lagi persis sama di Bagian 3 dan Bagian 6:

2. Akar persamaan tak-linear

Banyak persamaan Teknik Mesin tidak bisa dipisah menjadi x = … Persamaan Colebrook untuk friction factor adalah contoh paling jujur: f muncul di kedua ruas, di dalam dan di luar logaritma.

Bisection — lambat tetapi tidak pernah gagal

Kalau g(a) dan g(b) berbeda tanda, pasti ada akar di antaranya. Ambil titik tengah, buang separuh yang tidak memuat akar, ulangi. Lebar selang setelah n langkah adalah (b−a)/2ⁿ, jadi jumlah iterasinya bisa dihitung sebelum program dijalankan — sifat yang tidak dimiliki metode lain:

Newton–Raphson — turunkan sendiri dari deret Taylor

Potong deret Taylor g di suku linear, lalu paksa nilainya nol: g(x_i+1) ≈ g(x_i) + g′(x_i)(x_i+1 − x_i) = 0. Jadi rumus ini bukan hafalan — ia hanyalah “ganti kurva dengan garis singgungnya, lalu ambil titik potong garis itu dengan sumbu x”:

Kalau turunan analitiknya susah, ganti dengan beda hingga — itulah metode secant, dengan orde konvergensi ≈ 1,618 tanpa perlu g′ sama sekali.

3. Sistem persamaan linear

Begitu persoalan kontinu didiskretisasi, yang tersisa selalu [A]{x} = {b}. Yang membedakan satu metode dari yang lain bukan hasilnya, melainkan ongkos dan ketahanannya.

• Metode langsung — eliminasi Gauss, dekomposisi LU, algoritma Thomas untuk matriks tridiagonal. Selesai dalam jumlah operasi yang bisa dihitung di muka: ~⅔n³ untuk Gauss penuh, tetapi hanya ~8n untuk Thomas. Tidak ada urusan konvergensi.
• Metode iteratif — Jacobi, Gauss–Seidel, SOR. Ongkos per iterasi murah dan matriks jarang tidak perlu disimpan penuh, tetapi jumlah iterasinya bergantung pada sifat matriksnya dan tidak diketahui sebelum dijalankan.

Bedanya satu tanda kurung: Gauss–Seidel langsung memakai nilai baru yang baru saja dihitung di baris sebelumnya, bukan menunggu satu sapuan selesai. SOR menambah satu tuas lagi, yaitu melebih-lebihkan koreksi:

Metode iteratif dijamin konvergen bila matriksnya dominan diagonal: |a_ii| ≥ Σ_j≠i|a_ij| untuk semua baris. Kecepatannya diukur oleh jari-jari spektral ρ matriks iterasi — galat mengecil kira-kira sebesar faktor ρ tiap iterasi.

Contoh angka: sirip pendingin blok mesin motor

Persamaan siripnya d²θ/dx² − m²θ = 0 dengan m² = hP/(kA_c). Ganti turunan kedua dengan rumus beda terpusat dari Bagian 1, dan tiap node dalam menjadi

Ujung sirip dianggap adiabatik, diwakili ghost node θ_n+1 = θ_n−1. Panel berikut membentuk matriksnya, menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss, lalu mengulangi pekerjaan yang sama secara iteratif supaya selisih ongkosnya terlihat.

4. Integrasi numerik

Semua aturan Newton–Cotes lahir dari gagasan yang sama: ganti fungsi aslinya dengan polinom yang mudah diintegralkan, lalu integralkan polinom itu.

Perhatikan bentuk galatnya: Simpson mengandung turunan keempat. Konsekuensinya langsung dan mudah diuji — Simpson 1/3 eksak untuk polinom sampai derajat tiga, padahal parabola yang dipakainya cuma derajat dua. Kenaikan satu tingkat gratis ini terjadi karena galat derajat tiganya saling menghapus antara dua separuh selang. Syarat pakai yang sering terlupa: Simpson 1/3 butuh n genap.

Contoh angka: sifat udara, langsung menyambung ke Termodinamika Lanjut

Kalor jenis udara sebagai fungsi suhu (kJ/kmol·K), polinom derajat tiga dari tabel sifat:

Dua integral dihitung: perubahan entalpi ∫c̄_p dT (integran adalah polinom derajat tiga, jadi Simpson wajib eksak) dan perubahan entropi ∫c̄_p/T dT (integran bukan polinom lagi, jadi ordenya terlihat). Keduanya punya nilai analitik tertutup, sehingga galatnya sejati, bukan taksiran.

5. Persamaan diferensial biasa (nilai awal)

Persoalannya dy/dt = f(t,y) dengan y(t₀) = y₀. Potong deret Taylor di suku linear dan Euler langsung muncul:

Galat pemotongan lokal orde h², tetapi karena langkahnya diulang ∝ 1/h kali, galat globalnya orde h. Ini perbedaan yang paling sering ditanyakan di ujian.

Euler memakai kemiringan di awal selang untuk seluruh selang, padahal kemiringannya berubah. Heun memperbaikinya dengan merata-ratakan kemiringan awal dan kemiringan di titik yang diprediksi; Runge–Kutta 4 memakai empat taksiran kemiringan — satu di awal, dua di tengah, satu di akhir — dengan bobot 1:2:2:1 yang bukan pilihan estetika melainkan hasil mencocokkan suku demi suku dengan deret Taylor sampai h⁴:

Contoh angka: blok mesin motor mendingin setelah diparkir

Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k(T−T_∞), yang punya solusi eksak T = T_∞ + (T₀−T_∞)e^−kt sehingga galat tiap metode bisa dihitung sejati.

6. Persamaan diferensial parsial

Skema eksplisit dan syarat stabilitasnya

Diskretkan ∂T/∂t = α ∂²T/∂x² dengan beda maju di waktu dan beda terpusat di ruang (skema FTCS):

Kumpulkan koefisien T_iⁿ: hasilnya (1 − 2Fo). Kalau koefisien itu negatif, suhu suatu titik naik ketika suhunya sendiri naik — mustahil secara fisika, dan melanggar Hukum Kedua. Dari situ, tanpa analisis Von Neumann sama sekali:

7. Ringkasan rumus