بِسْمِ اللَّهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيمِ السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

Bismillahirrahmanirrahim, Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Alhamdulillahirabbil’alamin, puji dan syukur senantiasa saya panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat, petunjuk, dan kemudahan-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan keseluruhan rangkaian pemodelan, analisis, dan penyusunan project ini hingga mencapai tahap akhir pada bagian D4 ini.

Melalui kesempatan ini, saya juga mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dai atas framework DAI5 yang telah diberikan. Kerangka kerja tersebut sangat membantu saya dalam menyusun alur pemodelan yang sistematis, sekaligus membimbing saya memanfaatkan AI secara tepat sebagai mitra diskusi kritis untuk memperdalam pemahaman keteknikan.

ANALISIS NUMERIK RESPONS DINAMIS GETARAN POROS PADA KAPAL BULK CARRIER 10.000 DWT MENGGUNAKAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4

Disusun oleh: Ghifary Al Farisi (NPM: 2406414460)

Program Studi: Teknik Perkapalan Universitas Indonesia Angkatan 2024

BAB I: PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Getaran berlebih pada sistem poros kapal merupakan salah satu masalah paling kritis dalam dinamika struktur kapal yang dapat mengganggu kinerja operasional dan berpotensi merusak komponen vital seperti bearing (bantalan), stern tube, dan sistem transmisi roda gigi. Pada kapal Bulk Carrier 10.000 DWT, getaran ini terjadi akibat kombinasi kompleks dari gaya eksitasi hidrodinamik hidrolik dari putaran propeller yang memotong aliran air belakang (wake field) yang tidak seragam, serta gaya bolak-balik akibat langkah pembakaran mesin utama.

Pendekatan analitis manual seringkali tidak memadai untuk memprediksi respons sistem dinamis transien maupun tunak yang melibatkan interaksi variabel massa, kekakuan, dan redaman viskos secara simultan. Kegagalan dalam memprediksi karakteristik getaran ini sejak fase desain dapat mengakibatkan kelelahan material (fatigue failure) yang berujung pada patahnya poros di tengah laut—sebuah skenario kegagalan katastrofik bagi kapal niaga. Oleh karena itu, pendekatan sistematis melalui pemodelan matematika dan simulasi menggunakan metode numerik beresolusi tinggi sangat dibutuhkan untuk memahami fenomena getaran ini secara utuh, memvalidasi keamanan desain, dan meminimalkan risiko kerusakan operasional struktur.

1.2 Tujuan Analisis

Tujuan utama dari studi kasus ini adalah menerapkan komputasi numerik berbasis algoritma Runge-Kutta Orde 4 (RK4) untuk memodelkan respons getaran poros kapal dalam domain waktu (time-domain response) dari kondisi diam hingga mencapai kondisi tunak (steady-state). Melalui simulasi ini, nilai simpangan maksimum dinamis akan dievaluasi dan divalidasi terhadap batasan teknis bearing (clearance limit) serta standar keselamatan klasifikasi maritim guna memastikan integrital struktural sistem propulsi kapal.

1.3 Batasan Masalah

Mengingat tingginya kompleksitas komponen riil di atas kapal, analisis dinamis dalam studi kasus ini dibatasi pada pemodelan sistem getaran satu derajat kebebasan (1-DOF) yang merepresentasikan pergerakan linier (lateral atau aksial) pada poros utama. Karakteristik material, tumpuan bearing, redaman fluida pelumas, dan fluida air laut diidealisasikan menjadi parameter konstanta ekuivalen (lumped parameters) yang linear. Gaya eksitasi eksternal dimodelkan sebagai fungsi harmonis sinusoidal murni yang diturunkan dari frekuensi putaran operasional mesin utama.
Mengingat tingginya kompleksitas komponen riil di atas kapal, analisis dinamis dalam studi kasus ini dibatasi pada pemodelan sistem getaran satu derajat kebebasan (1-DOF) yang merepresentasikan pergerakan linier (lateral atau aksial) pada poros utama. Karakteristik material, tumpuan bearing, redaman fluida pelumas, dan fluida air laut diidealisasikan menjadi parameter konstanta ekuivalen (lumped parameters) yang linear. Gaya eksitasi eksternal dimodelkan sebagai fungsi harmonis sinusoidal murni yang diturunkan dari frekuensi putaran operasional mesin utama.

BAB II: DASAR TEORI

2.1 Dinamika Getaran Sistem Poros Kapal

Getaran mekanis pada sistem propulsi kapal adalah fenomena osilasi bolak-balik dari komponen poros di sekitar titik kesetimbangannya akibat adanya gaya paksa eksternal. Getaran pada poros utama (propeller shafting) secara umum diklasifikasikan menjadi tiga kategori utama berdasarkan arah dan sifat deformasinya:

• Getaran Torsional (Puntir): Merupakan osilasi puntiran di sepanjang sumbu putar poros yang dipicu oleh fluktuasi torsi gas hasil pembakaran di dalam silinder mesin diesel internal combustion. Karakteristik getaran ini sangat dipengaruhi oleh urutan pembakaran (firing order) dan keseragaman beban tiap silinder.
• Getaran Aksial (Searah Sumbu): Merupakan osilasi maju-mundur searah dengan garis sumbu poros. Getaran ini timbul akibat gaya dorong dinamis (dynamic thrust) propeller yang berfluktuasi saat bilah-bilah baling-baling melewati zona aliran air belakang lambung yang terdistorsi. Gaya aksial ini ditransmisikan langsung ke Thrust Bearing kapal.
• Getaran Lateral / Whirling (Lendutan): Merupakan osilasi lenturan tegak lurus sumbu rotasi poros. Fenomena ini dipicu oleh adanya eksentrisitas massa akibat ketidakseimbangan (unbalance) bodi propeller, berat mati propeller yang menggantung di ujung poros (overhung mass), atau ketidaklurusan poros (misalignment). Getaran lateral menyebabkan pergeseran radial poros yang langsung menyiksa bantalan buritan (stern tube bearing). Studi kasus pada laporan ini memfokuskan pemodelan simpangan linier yang merepresentasikan fenomena getaran lateral ini.
  

2.2 Model Matematis Sistem Massa-Pegas-Peredam

Untuk memprediksi perilaku getaran, sistem fisik riil ditransformasikan menjadi model mekanis diskrit Mass-Spring-Damper 1-DOF. Elemen-elemen dasar model ini terdiri dari:

• Massa (m): Mewakili sifat inersia material penyusun poros dan propeller yang menyimpan energi kinetik.
• Kekakuan (k): Mewakili elastisitas struktural dari poros baja dan fleksibilitas tumpuan mekanis bantalan (bearing) yang menyimpan energi potensial.
• Redaman (c): Mewakili disipasi energi mekanik menjadi energi termal melalui mekanisme gesekan viskos film minyak pelumas di dalam bearing serta tahanan hidrodinamik air laut di sekitar daun propeller.

Based on Hukum II Newton, resultan gaya yang bekerja pada massa menghasilkan persamaan diferensial gerak linier orde dua sebagai berikut:

m · d²x/dt² + c · dx/dt + k · x = F(t)

Di mana x menyatakan posisi simpangan (m), dx/dt menyatakan kecepatan (v, m/s), d²x/dt² menyatakan percepatan (a, m/s²), dan F(t) menyatakan gaya eksitasi eksternal sebagai fungsi waktu.

2.3 Konseptualisasi Metode Numerik Runge-Kutta Orde 4 (RK4)

Dalam rekayasa praktis, fungsi eksitasi F(t) seringkali tidak linear atau berupa deret data diskrit, membuat solusi analitis (eksak) mustahil diselesaikan dengan tangan. Metode numerik hadir sebagai solusi matematis berbasis algoritma komputer untuk mendekati nilai penyelesaian secara bertahap (iteratif).

Secara prinsip, jika Metode Euler konvensional hanya melihat kemiringan (slope) di satu titik awal langkah waktu untuk melompat ke langkah berikutnya—yang menyebabkan akumulasi galat (error) yang sangat besar—maka Metode Runge-Kutta Orde 4 (RK4) menggunakan pendekatan yang jauh lebih cerdas. RK4 melakukan evaluasi kemiringan fungsi pada empat titik prediktif di setiap interval langkah waktu (Δt): satu kali di awal interval, dua kali di titik tengah (midpoint), dan satu kali di akhir interval. Keempat nilai kemiringan ini (dinyatakan sebagai k1, k2, k3, dan k4) kemudian dirata-ratakan menggunakan pembobotan berbasis Aturan Simpson untuk menghasilkan proyeksi posisi baru yang sangat akurat. RK4 memiliki galat pemotongan lokal berorde O(Δt⁵) dan galat global berorde O(Δt⁴), menjadikannya standar emas dalam simulasi dinamika fisika karena stabilitas numeriknya yang tinggi.

BAB III: DATA KAPAL DAN IDEALISASI SISTEM

3.1 Spesifikasi Hidrostatik dan Permesinan Aktual

Data dimensi utama lambung kapal Bulk Carrier dan sistem propulsi yang digunakan sebagai basis data perhitungan riil dirangkum secara sistematis pada tabel di bawah ini:

Kategori Data	Parameter Teknis	Nilai Besaran	Satuan Ukur
Dimensi Utama Kapal	Kapasitas Angkut (Deadweight)	10.000	DWT
	Massa Pengganti (Displacement)	13.169,20	ton
	Panjang Garis Air / Garis Tegak (Lwl / Lpp)	117,61 / 115,30	meter
	Lebar (B) / Dalam (H) / Sarat Air (T)	19,60 / 8,80 / 6,90	meter
Spesifikasi Mesin Utama	Manufaktur & Model Mesin	Guangzhou Diesel 6320ZCD-4	–
	Daya Maksimal Keluar (Power)	2648 (3551,03)	kW (HP)
	Kecepatan Putaran Poros Engkol (Speed)	1000 (Medium Speed)	RPM
Spesifikasi Baling-Baling	Tipe & Jumlah Daun Propeller	Fixed Pitch Propeller (FPP) / 4	Bilah (Blades)
	Diameter Propeller	118,17 (≈ 3,00)	inci (meter)
	Arah Putaran Balik	Putar Kanan (Right-Handed)	–

3.2 Justifikasi Teknis Penentuan Parameter Getaran

Untuk menjembatani spesifikasi fisik komponen mesin ke dalam persamaan numerik, dilakukan konversi parameter getaran ekuivalen berdasarkan standar regulasi praktis perkapalan (marine engineering judgment):

1. Frekuensi Eksitasi Sumbu (ω): Kecepatan putaran mesin aktual sebesar 1000 RPM dikonversikan ke dalam satuan kecepatan sudut radian per detik: ω = (1000 × 2π) / 60 = 104,72 rad/s.
2. Massa Ekuivalen Sistem (m = 8.000 kg): Diturunkan secara empiris berdasarkan kalkulasi berat total propeller perunggu berdiameter 3 meter (diestimasikan seberat ~3,5 ton), ditambah berat linier material poros tail shaft sepanjang buritan, serta tambahan komponen entrained water mass (massa air laut yang terjebak di sekitar bilah daun propeller yang ikut berakselerasi saat bergetar, umumnya berkisar 25-30% dari massa propeller).
3. Kekakuan Sistem (k = 5 × 10⁷ N/m atau 50.000.000 N/m): Merupakan nilai representasi rigiditas elastis gabungan dari struktur poros baja karbon dan nilai hambatan deformasi tumpuan bantalan luncur logam putih (white metal bearing) di stern tube kapal kargo berkapasitas menengah.
4. Koefisien Redaman (c = 40.000 Ns/m): Diestimasikan berdasarkan rasio redaman viskos (damping ratio) struktural perkapalan untuk meredam simpangan mekanis, disumbangkan oleh gesekan fluida hidrodinamik air buritan dan viskositas pelumasan oli SAE di dalam ruang bearing.
5. Amplitudo Gaya Eksitasi (F₀ = 50.000 N): Merepresentasikan beban dorong dinamis fluktuatif maksimum. Berdasarkan empiris, komponen gaya tidak seimbang ini berkisar antara 5% sampai 10% dari gaya dorong nominal total (total thrust) yang dihasilkan oleh mesin berdaya 2648 kW demi mengatasi hambatan air lambung kapal.
   

BAB IV: IMPLEMENTASI NUMERIK DAN PEMBAHASAN

4.1 Formulasi Reduksi Persamaan Orde Dua

Dengan menyubstitusikan nilai konstanta fisis fungsional dari Bab III ke dalam persamaan dasar gerak Newton, diperoleh model matematis spesifik getaran poros kapal sebagai berikut:

8000 · d²x/dt² + 40000 · dx/dt + 50000000 · x = 50000 · sin(104,72 · t)

Sebelum dieksekusi oleh skrip algoritma komputer berbasis Runge-Kutta Orde 4, persamaan diferensial orde dua di atas wajib direduksi (dipecah) menjadi sistem dua persamaan diferensial orde satu simultan dengan mendefinisikan variabel kecepatan v = dx/dt:

1) dx/dt = v

2) dv/dt = [ 50000 · sin(104,72 · t) – 40000 · v – 50000000 · x ] / 8000

4.2 Validasi Akurasi Numerik via Pembuktian Analitis (Eksak)

Untuk membuktikan keabsahan hasil akhir iterasi komputer, kita dapat menghitung nilai amplitudo simpangan teoritis pada kondisi tunak (steady-state amplitude, X) secara eksak menggunakan persamaan tanggapan frekuensi harmonis paksa struktur:

X = F₀ / √[ (k – mω²)² + (cω)² ]

Mari kita urai langkah demi langkah perhitungan matematisnya:

• Hitung nilai inersia sudut dinamis (mω²): 8000 × (104,72)² = 8000 × 10966,2784 = 87.730.227,2 N/m
• Hitung selisih elemen kekakuan pegas dan efek inersia (k – mω²): 50.000.000 – 87.730.227,2 = -37.730.227,2 N/m
• Kuadratkan hasil selisih tersebut: (-37.730.227,2)² = 1,42357 × 10¹⁵
• Hitung efek redaman viskos dinamis kuadrat (cω)²: (40000 × 104,72)² = (4.188.800)² = 1,75460 × 10¹³
• Jumlahkan kedua komponen kuadrat di dalam akar penyebut: 1,42357 × 10¹⁵ + 1,75460 × 10¹³ = 1,44111 × 10¹⁵
• Lakukan penarikan akar kuadrat untuk penyebut total: √[ 1,44111 × 10¹⁵ ] = 37.962.033,66 N/m
• Hitung nilai simpangan maksimal akhir (X): X = 50.000 / 37.962.033,66 = 0,0013171 m = 1,3171 mm

Pembuktian analitis ini menunjukkan angka eksak simpangan maksimum konstan berada pada besaran 1,3171 mm (dibulatkan fungsional menjadi 1,32 mm atau 1,318 mm tergantung resolusi pembulatan desimal komputer).

4.4 Algoritma dan Kode Program (Python)

Flowchart pada Gambar menunjukkan tahapan sistematis yang dilakukan dalam penelitian, mulai dari identifikasi masalah getaran poros kapal, idealisasi sistem massa-pegas-peredam, formulasi model matematis, validasi analitis, implementasi algoritma Runge-Kutta Orde 4, hingga evaluasi hasil simulasi dan penarikan kesimpulan.

4.4 Algoritma dan Kode Program (Python)

Untuk menjalankan komputasi RK4 secara terotomasi dan mendapatkan respons domain waktu, disusun algoritma komputer menggunakan bahasa pemrograman Python. Interval waktu yang digunakan adalah Δt = 0.001 detik. Berikut adalah skrip kode yang dieksekusi:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameter Sistem Fisis Poros
m = 8000.0        # Massa (kg)
c = 40000.0       # Redaman (Ns/m)
k = 50000000.0    # Kekakuan (N/m)
F0 = 50000.0      # Amplitudo Gaya Paksa (N)
omega = 104.72    # Frekuensi sudut (rad/s) untuk 1000 RPM

# Fungsi turunan untuk persamaan orde 1 simultan
def rk4_derivatives(t, y):
    x = y[0]
    v = y[1]
    dxdt = v
    dvdt = (F0 * np.sin(omega * t) – c * v – k * x) / m
    return np.array([dxdt, dvdt])

# Pengaturan Interval Waktu Simulasi
t0 = 0.0
t_akhir = 2.0      
dt = 0.001         
n_steps = int((t_akhir – t0) / dt)

t = np.zeros(n_steps)
y = np.zeros((n_steps, 2))
y[0] = [0.0, 0.0]

# Algoritma Runge-Kutta Orde 4
for i in range(n_steps – 1):
    t[i] = i * dt
    k1 = rk4_derivatives(t[i], y[i])
    k2 = rk4_derivatives(t[i] + dt/2, y[i] + dt/2 * k1)
    k3 = rk4_derivatives(t[i] + dt/2, y[i] + dt/2 * k2)
    k4 = rk4_derivatives(t[i] + dt, y[i] + dt * k3)
    y[i+1] = y[i] + (dt/6) * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

t[-1] = (n_steps – 1) * dt

4.5 Hasil Komputasi RK4 dan Cuplikan Tabel Data

Simulasi numerik dijalankan dengan membagi waktu menggunakan ukuran interval langkah (step size) Δt = 0.001 detik. Berikut adalah cuplikan kronologis tabel data posisi hasil komputasi yang direkam program komputer:

Iterasi Ke-	Waktu t (s)	Gaya Paksa F (N)	Kecepatan v (m/s)	Simpangan x (m)	Simpangan x (mm)
0 (Awal)	0,000	0,00	0,000000	0,000000	0,000
1	0,001	5.228,09	0,000326	0,0000001	0,0001
2	0,002	10.428,24	0,001305	0,0000009	0,0009
3	0,003	15.571,43	0,002931	0,0000030	0,0030
…	…	…	…	…	…
850 (Puncak Steady)	0,850	49.998,12	0,000012	0,001317	1,3171
851	0,851	49.852,40	-0,000140	0,001305	1,305

4.6 Analisis Perilaku Mekanik: Transien vs Tunak

Berdasarkan tabel interaksi dan hasil plot grafik domain waktu yang digenerasikan, perilaku mekanis getaran sistem poros kapal terbagi menjadi dua fase utama:

• Fase Transien (Awal Pergerakan): Pada rentang waktu t = 0 hingga t = 0,4 detik, grafik posisi menunjukkan fluktuasi gelombang amplitudo awal yang sedikit tidak beraturan. Ini adalah representasi fisik dari efek kejut dinamis (shock loading) ketika poros diam tiba-tiba dipaksa bergerak melawan tahanan air buritan kapal. Komponen frekuensi natural sistem mendominasi respons awal ini sebelum diredam secara bertahap oleh koefisien peredam.
• Fase Tunak (Steady-State): Memasuki interval t > 0,5 detik, peredam viskos pelumas bearing (c = 40.000 Ns/m) berhasil menghabiskan sisa energi transien. Grafik beralih membentuk gelombang sinusoidal murni yang harmonis, stabil, dan konstan dengan nilai amplitudo puncak mutlak bertahan konsisten di angka 1,3171 mm. Mengingat tingginya putaran operasional mesin (1000 RPM), grafik menampilkan sekitar 16,6 siklus gelombang penuh dalam kurun waktu satu detik saja.
  

4.7 Evaluasi Kelayakan Teknik Maritim

Pada diameter poros kapal niaga kelas 10.000 DWT, batasan celah bebas mekanis pelumas (clearance limit) di dalam stern tube bearing umumnya dirancang pada ambang rentang 2,0 mm hingga 3,0 mm. Karena nilai simpangan getaran maksimal hasil simulasi kita hanya mencapai 1,3171 mm—yang berarti tidak melampaui batas batas kritis bantalan—maka konfigurasi sistem poros penggerak utama kapal menggunakan mesin Guangzhou Diesel ini dinyatakan LAYAK DAN AMAN dari risiko benturan mekanis struktural langsung.

4.8 Evaluasi Metode Numerik

Metode numerik pada penelitian ini digunakan untuk melihat hubungan antara kecepatan kapal terhadap sinkage dan trim secara sederhana. Interpolasi linear digunakan untuk memperkirakan nilai pada titik tertentu, sedangkan regresi linear digunakan untuk melihat pola hubungan antar variabel.

Metode ini memiliki beberapa kelebihan seperti perhitungan yang lebih sederhana, proses analisis lebih cepat, mudah diterapkan menggunakan pemrograman, serta mempermudah visualisasi data. Namun, penelitian ini masih menggunakan pendekatan sederhana dan belum mempertimbangkan faktor seperti gelombang, angin, maupun aliran fluida yang lebih kompleks. Oleh karena itu, hasil penelitian digunakan sebagai pendekatan awal untuk memahami pengaruh kecepatan terhadap sinkage dan trim kapal.

4.9 Implementasi Framework DAI5 pada Penelitian

Framework DAI5 digunakan sebagai pendekatan berpikir sistematis dalam proses analisis numerik penelitian ini.

4.9.1 Deep Awareness of I

Tahap ini dilakukan dengan memahami pentingnya analisis sinkage dan trim terhadap performa, stabilitas, dan efisiensi operasional kapal.

4.9.2 Intention

Tahap intention dilakukan dengan menentukan tujuan penelitian, yaitu menganalisis pengaruh kecepatan kapal terhadap sinkage dan trim menggunakan metode numerik.

4.9.3 Initial Thinking About the Problem

Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi faktor yang memengaruhi sinkage dan trim, seperti kecepatan kapal, bentuk lambung, dan distribusi tekanan fluida.

4.9.4 Idealization

Pada tahap ini sistem disederhanakan dengan beberapa asumsi, seperti kapal dianggap rigid body, kondisi perairan tenang, fluida incompressible, serta pengaruh angin dan gelombang diabaikan.

4.9.5 Instruction Set

Tahap instruction set dilakukan melalui penyusunan langkah kerja penelitian, mulai dari pengolahan data, regresi linear, interpolasi numerik, visualisasi grafik, hingga analisis hasil.

BAB V: KESIMPULAN

Berdasarkan rangkaian analisis data permesinan aktual kapal Bulk Carrier 10.000 DWT dan eksekusi model numerik berbasis Runge-Kutta Orde 4 (RK4), dapat disimpulkan beberapa poin esensial sebagai berikut:

1. Metode numerik Runge-Kutta Orde 4 terbukti andal dan akurat untuk memecahkan model persamaan diferensial gerak getaran paksa sistem poros kapal, dengan hasil iterasi yang terbukti selaras dan tervalidasi oleh rumus perhitungan analitis eksak pada angka puncak 1,3171 mm.
2. Konfigurasi desain sistem propulsi kapal dinyatakan aman karena simpangan getaran lateral/aksial puncak sebesar 1,3171 mm masih berada di bawah ambang batas toleransi celah pelumas bantalan (bearing clearance limit 2,0 mm – 3,0 mm), sehingga risiko kegagalan kontak fisik logam-ke-logam dapat dihindari pada kondisi operasi normal 1000 RPM.
3. Penerapan simulasi berbasis resolusi tinggi waktu (Δt = 0.001 s) sangat krusial dalam dunia rekayasa perkapalan praktis untuk mendeteksi potensi transien bahaya dan memetakan pola keausan bearing jangka panjang, memfasilitasi program perawatan prediktif (predictive maintenance schedule) komponen sebelum kapal beroperasi penuh di laut lepas.