ccitonline.com

Penentuan Titik Kerja Pompa Kapal Menggunakan Metode Newton – Raphson

BAB I

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Dalam sistem permesinan kapal, pompa merupakan salah satu komponen yang sangat krusial dikarenakan dapat berfungsi untuk memindahkan fluida dari satu tempat ke tempat lain. Pompa digunakan pada berbagai sistem, seperti sistem pendingin mesin induk, sistem bilga, sistem ballast, sistem bahan bakar, dan sistem pelumasan. Tanpa pompa, banyak sistem di kapal tidak dapat bekerja dengan baik karena aliran fluida tidak dapat berlangsung sesuai kebutuhan.

Pada praktiknya, pompa tidak bekerja sendiri, melainkan terhubung dengan sistem perpipaan. Sistem perpipaan ini memiliki hambatan aliran yang disebabkan oleh gesekan fluida dengan dinding pipa, belokan, katup, sambungan, dan perubahan penampang. Hambatan tersebut membuat debit aliran tidak hanya ditentukan oleh kemampuan pompa, tetapi juga oleh karakteristik sistem itu sendiri. Karena itu, diperlukan analisis untuk mengetahui pada kondisi apa pompa dapat bekerja secara seimbang dengan sistem.

Kondisi seimbang ini disebut titik kerja pompa. Titik kerja pompa adalah titik perpotongan antara kurva pompa dan kurva sistem. Pada titik ini, head yang dihasilkan pompa sama dengan head yang dibutuhkan sistem. Dengan kata lain, pompa bekerja pada kondisi yang benar-benar terjadi di lapangan, bukan hanya berdasarkan kemampuan maksimalnya.

Masalah penentuan titik kerja pompa sering menghasilkan persamaan yang tidak linear. Persamaan non linier seperti ini tidak selalu bisa diselesaikan dengan cara aljabar biasa. Oleh sebab itu, metode numerik dapat digunakan untuk memperoleh solusi yang mendekati nilai sebenarnya. Salah satu metode numerik yang sederhana dan cocok untuk kasus adalah metode Newton-Raphson.

Metode Newton-Raphson digunakan untuk mencari akar persamaan non linier secara bertahap atau iteratif. Metode ini bekerja dengan cara memperbaiki tebakan awal hingga nilai yang diperoleh semakin mendekati akar persamaan. Dalam konteks pompa kapal, metode ini sangat berguna untuk mencari debit operasi pada saat titik kerja terjadi. Karena itu, pembahasan mengenai metode Newton-Raphson menjadi penting dalam analisis sistem pompa kapal.

1.2 Rumusan masalah

1. Apa yang dimaksud dengan titik kerja pompa?

2. Mengapa penentuan titik kerja pompa memerlukan metode numerik? 

3. Bagaimana metode Newton-Raphson digunakan untuk mencari titik kerja pompa? 

1.3 Tujuan

1. Menjelaskan pengertian titik kerja pompa pada sistem kapal. 

2. Menjelaskan alasan penggunaan metode numerik dalam penentuan titik kerja pompa.

3. Menjelaskan prinsip dasar metode Newton-Raphson. 

4. Memberikan pemahaman dasar tentang hubungan antara pompa dan sistem perpipaan kapal. 

5. Membantu memahami cara mencari solusi persamaan non linier secara sederhana.
6. Menjadi dasar untuk pembelajaran lebih lanjut mengenai analisis performa pompa.

BAB II

Pembahasan

2.1 Pompa pada Sistem Kapal

Pompa merupakan komponen yang sangat krusial pada sistem permesinan kapal karena berfungsi memindahkan fluida dari satu titik ke titik lain. Dalam aplikasi kapal, pompa dipakai pada sistem pendingin, bilga, ballast, bahan bakar, dan pelumasan. Pada pompa sentrifugal, karakteristik utama yang biasanya diamati adalah hubungan debit (Q), head (H), daya, dan efisiensi terhadap kondisi kerja. Dalam literatur teknis, kurva karakteristik pompa digunakan untuk menggambarkan perilaku pompa pada berbagai debit, sedangkan titik operasi ditentukan dari karakteristik pompa dan sistem yang terhubung.

Pada kenyataanya, pompa kapal tidak bekerja sendiri, melainkan terhubung dengan jaringan pipa yang menimbulkan rugi-rugi aliran. Sebuah model pompa yang umum dipakai dalam analisis teknik juga selalu memasukkan elemen pompa, motor penggerak, dan beban sistem sebagai satu kesatuan dinamika. Ini menunjukkan bahwa performa pompa sangat dipengaruhi oleh kondisi sistem tempat pompa tersebut.

2.2 kurva Karakteristik Pompa

Kurva karakteristik pompa merupakan kurva yang menunjukkan hubungan antara debit aliran dan head yang dihasilkan pompa. Pada pompa sentrifugal, head umumnya menurun ketika debit meningkat. Kurva ini digunakan untuk menghitung debit dan menilai kinerja pompa pada titik kerja tertentu. Bahkan pada studi terbaru, kurva head disebut sebagai dasar penting dalam perhitungan flow rate, dan perubahan kondisi inlet dapat mengubah kurva tersebut karena perubahan rugi hidrolik.

Selain head, kurva performa pompa juga dapat mencakup daya dan efisiensi. Penelitian tentang karakteristik lengkap pompa sentrifugal menekankan bahwa data lengkap kurva performa penting untuk pemodelan fenomena transien hidrolik di pipa, tetapi pabrikan sering hanya menyediakan data dasar pada kondisi normal. Karena itu, dalam analisis teknik, kurva yang tersedia dapat digunakan sebagai dasar untuk memperkirakan kondisi operasi lain.

Gambar diatas adalah gambaran dari kurva karakteristik pompa sentrifugal

2.3 Kurva Sistem dan Titik kerja Pompa

Kurva sistem menunjukkan kebutuhan head yang harus dipenuhi pompa agar fluida dapat mengalir dalam sistem pipa. Dalam praktik, titik kerja pompa adalah perpotongan antara kurva pompa dan kurva sistem. Pada titik inilah head pompa sama dengan head yang dibutuhkan sistem, sehingga debit yang terjadi adalah debit operasi aktual. Ini adalah kondisi operasi nyata yang menentukan apakah pompa bekerja stabil, terlalu besar, atau justru tidak mampu memenuhi kebutuhan sistem.

Secara fisik kurva sistem biasanya naik terhadap debit karena rugi gesek pipa meningkat saat aliran makin besar. Maka, untuk mencari titik kerja, kita perlu menyamakan persamaan head pompa dan head sistem. Bentuk penyamaan ini umumnya menghasilkan persamaan nonlinier, sehingga tidak selalu bisa diselesaikan hanya dengan aljabar biasa.

Gambar diatas adalah gambaran dari kurva sistem digabungkan dengan karakteristik pompa yang akan bertemu menghasilkan titik kerja pompa yang dicari dalam karya ilmiah ini.

2.4 Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode numerik iteratif sederhana yang dapat digunakan untuk mencari akar persamaan non linier. Metode ini sangat luas dipakai dalam berbagai persoalan teknik dan sains. Cara kerjanya adalah memperbaiki tebakan awal secara berulang menggunakan nilai fungsi dan turunannya. Jika didefinisikan secara matematis, katakanlah kita mencari f(x) = 0, maka iterasi newton raphson bisa ditulis:

Metode ini bekerja dengan menggambar garis singgung pada titik tebakan saat ini, lalu titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu-x dipakai sebagai tebakan baru. Proses ini diulang sampai perubahan nilai sangat kecil atau fungsi mendekati nol.

Dalam kasus ini Metode Newton-Raphson saya pilih karena persoalan titik kerja pompa pada dasarnya adalah masalah pencarian akar dari persamaan nonlinier. Dalam sistem pompa dan jaringan pipa, persamaan yang muncul berasal dari keseimbangan head pompa dan head sistem. Karena persamaan tersebut sering berbentuk kuadrat atau lebih kompleks, Newton-Raphson lebih cocok dibanding metode langsung yang hanya berlaku untuk bentuk sederhana. Literatur numerik menunjukkan bahwa metode ini sangat efisien untuk sistem nonlinier, termasuk pada berbagai masalah teknik yang memakai persamaan residual. 

BAB III

Metode Penelitian

3.1 Jenis Metode

Seperti yang dijelaskan sebelumnya, penelitian ini akan menggunakan metode numerik Newton-Raphson. Metode ini dipilih karena permasalahan yang dibahas, yaitu penentuan titik kerja pompa kapal, merupakan persoalan non linier yang tidak selalu dapat diselesaikan secara langsung dengan rumus aljabar biasa. Dalam sistem pompa kapal, titik kerja terjadi ketika karakteristik pompa dan karakteristik sistem saling berpotongan. Karena hubungan antara debit dan head umumnya tidak linear, maka penyelesaiannya lebih sesuai dilakukan dengan metode numerik.

3.2 Analisis Objek

Objek yang akan dianalisis dalam karya ilmiah ini adalah titik kerja pompa. Titik kerja tersebut menunjukkan kondisi operasi optimal pompa saat bekerja. Pada kondisi ini, head pompa sama dengan head yang dibutuhkan oleh sistem.

3.3 Konsep Dasar Metode Newton-Raphson 

Metode Newton-Raphson digunakan untuk mencari akar dari suatu persamaan berbentuk f(Q) = 0. Pada kasus ini, fungsi dibentuk dari selisih antara head pompa dan head sistem, yaitu f(Q) = Hp(Q) – Hs(Q). Metode ini bekerja dengan cara memberikan tebakan awal dan kemudian memperbaiki nilai tersebut dengan cara melakukan iterasi berulang ulang hingga hasilnya mendekati akar persamaan. Berikut adalah rumus dari Newton-Raphson dalam penerapan kasus ini.

3.4 Langkah Penyelesaian

1. Menentukan persamaan kurva pompa.

2. Menentukan persamaan kurva sistem.

3. Menyusun fungsi selisih dari kedua persamaan

4. Menentukan turunan fungsi.

5. Menetapkan tebakan awal debit.

6. Melakukan iterasi Newton-Raphson (bisa beberapa kali) hingga diperoleh hasil yang stabil.

7. Menentukan head pada titik kerja berdasarkan debit hasil iterasi.

3.5 Persamaan Pada Rumus

Pada perhitungan nanti kita akan menggunakan persamaan berikut ini:

Dimana kedua persamaan ini menggambarkan bahwa head pompa akan menurun saat debit bertambah sedangkan head sistem akan meningkat karena ada nya rugi-rugi aliran. Dan dari kedua persamaan tadi, secara matematis titik kerja dapat ditemukan dengan cara Hp(Q) = Hs(Q). ini nantinya akan digunakan dalam input coding agar tidak membingungkan dalam proses input angka.

BAB IV

Perhitungan dan Pembahasan

4.1 Perhitungan

Pada bagian ini kita akan membahas hasil penentuan titik kerja pompa kapal menggunakan metode Newton-Raphson.

Sebagai contoh kita akan menggunakan persamaan berikut.

Dari dua persamaan tersebut, titik kerja pompa dicari dengan menyamakan head pompa dan head sistem. 

Setelah kedua kurva disamakan, diperoleh fungsi selisih: 

Fungsi inilah yang nantinya akan dicari akarnya dengan metode Newton-Raphson. Dalam penerapannya, digunakan tebakan awal debit, lalu nilai tersebut diperbaiki dalam beberapa iterasi hingga hasilnya mendekati titik kerja aktual. 

4.2 Coding Perhitungan

Berikut adalah coding dalam bahasa pemrograman python untuk menentukan nilai titik kerja pompa:

def f(Q, a, b, Hstatis, k):
    return (a - b * Q**2) - (Hstatis + k * Q**2)

def df(Q, b, k):
    return -2 * (b + k) * Q

print("Masukan Input")

a = float(input("Masukkan nilai a pada Hp(Q) = a - bQ^2 : "))
b = float(input("Masukkan nilai b pada Hp(Q) = a - bQ^2 : "))
Hstatis = float(input("Masukkan head statis Hstatis : "))
k = float(input("Masukkan nilai k pada Hs(Q) = Hstatis + kQ^2 : "))
Q0 = float(input("Masukkan tebakan awal Q0 : "))
tol = float(input("Masukkan toleransi error : "))
max_iter = int(input("Masukkan jumlah iterasi maksimum : "))

Q = Q0
hasil = None

print("\nIterasi perhitungan:")

for i in range(1, max_iter + 1):
    nilai_f = f(Q, a, b, Hstatis, k)
    nilai_df = df(Q, b, k)

    if nilai_df == 0:
        print("Turunan nol. Metode tidak bisa dilanjutkan.")
        break

    Q_baru = Q - (nilai_f / nilai_df)

    print(f"Iterasi {i}: Q = {Q_baru:.6f}")

    if abs(Q_baru - Q) < tol:
        hasil = Q_baru
        break

    Q = Q_baru

if hasil is None:
    hasil = Q_baru
    
Hp = a - b * hasil**2
Hs = Hstatis + k * hasil**2

print("\n Hasil Perhitungan")
print(f"Debit kerja Q        = {hasil:.6f}")
print(f"Head pompa Hp(Q)     = {Hp:.6f}")
print(f"Head sistem Hs(Q)    = {Hs:.6f}")
print(f"Selisih              = {abs(Hp - Hs):.6f}")

4.3 Hasil Perhitungan dan Pembahasan

Berdasarkan persamaan diatas, diperoleh debit dan head pompa sekitar :

Q = 31,62

H = 15 m

Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa metode Newton-Raphson dapat digunakan untuk menentukan titik kerja pompa kapal secara efektif. Dalam sistem nyata, titik kerja ini sangat penting karena menentukan apakah pompa mampu memenuhi kebutuhan aliran pada sistem perpipaan.

Secara teori, kurva pompa menunjukkan kemampuan pompa dalam memberikan head, sedangkan kurva sistem menunjukkan kebutuhan head dari instalasi pipa. Ketika kedua kurva bertemu, maka didapat kondisi operasi yang sesungguhnya. Karena itu, titik kerja pompa menjadi informasi penting dalam perancangan maupun pengoperasian sistem pompa pada kapal.

Penggunaan metode numerik pada kasus ini memberikan beberapa keuntungan yaitu; cocok untuk persamaan non linear, tidak memerlukan penyelesaian aljabar yang rumit secara manual, dapat digunakan dalam berbagai kondisi, dan dapat diterapkan pada masalah teknik lainya.

BAB V

Kesimpulan

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa titik kerja pompa pada sistem kapal merupakan kondisi saat kemampuan pompa dalam menghasilkan head sama dengan kebutuhan head dari sistem perpipaan. Kondisi ini sangat penting karena menentukan apakah pompa ini dapat bekerja secara efektif dan sesuai dengan kebutuhan operasional kapal. Oleh karena itu, analisis titik kerja pompa menjadi bagian penting dalam perencanaan maupun pengoperasian sistem pompa pada kapal.

Dalam penentuan titik kerja pompa, metode numerik sangat membantu karena hubungan antara kurva pompa dan kurva sistem umumnya tidak linear. Persamaan yang terbentuk tidak selalu mudah diselesaikan secara langsung dengan cara penyelesaian persamaan aljabar biasa, terutama jika bentuk kurvanya lebih kompleks. Dengan menggunakan metode Newton-Raphson, akar persamaan dapat dicari secara bertahap hingga diperoleh nilai yang mendekati hasil sebenarnya. Metode ini menunjukkan bahwa persoalan teknik yang bersifat non linier dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik yang sistematis.

Hasil pembahasan juga menunjukkan bahwa metode Newton-Raphson lebih efisien dibandingkan cara manual. Meskipun cara manual masih dapat digunakan untuk kasus sederhana, metode numerik memberikan hasil yang lebih cepat dan lebih cocok diterapkan pada masalah teknik nyata terutama jika perlu dilakukan adaptasi komputasi. Dengan ini, penggunaan metode Newton-Raphson dalam analisis titik kerja pompa kapal bisa dikatakan relevan, praktis, dan bermanfaat untuk menganalisis perilaku sistem pompa secara lebih akurat.

Dan juga sebagai catatan, penerapan metode numerik Newton-Raphson pada kasus ini adalah salah satu contoh paling sederhana dalam pengguanaan metode numerik dalam kasus nyata di dunia teknik. Pada kenyataanya penggunaan metode numerik tidak hanya terbatas metode Newton-Raphson dan bisa menggunakan metode yang lebih rumit dan menyelesaikan permasalahan yang jauh lebih kompleks daripada kasus titik kerja pompa pada karya ilmiah kali ini.

BAB VI

Daftar Pustaka

1. Bonilla-Correa, D. M., et al. (2023). Application of Newton–Raphson Method for Computing the Final Air–Water Interface Location in a Pipe Water Filling. Water, 15(7), 1304.

2. Casella, F., & Bachmann, B. (2019/2021). On the choice of initial guesses for the Newton-Raphson algorithm. arXiv / Applied Mathematics and Computation.

3. Janevska, G. (2014). Mathematical Modeling of Pump System. Proceedings in Electronic International Interdisciplinary Conference.

4. Yu, J., Akoto, E., Degbedzui, D. K., & Hu, L. (2023). Predicting Centrifugal Pumps’ Complete Characteristics Using Machine Learning. Processes, 11(2), 524.

5. Reeh, N., et al. (2024). Determining the Head Characteristics of Radial Centrifugal Pumps under the Impact of Prewhirl. Applied Sciences, 14(16), 7224.

6. KSB. Operating Point dan Characteristic Curve pada Centrifugal Pump Lexicon.

7. Llc, E. E., & Llc, E. E. (n.d.). Centrifugal pump characteristic curve. https://www.engineersedge.com/pumps/pump_characteristics.htm

8. Pump theory. (n.d.). (C) Copyright 2017. https://docs.bentley.com/LiveContent/web/Bentley%20HAMMER%20SS6-v1/en/GUID-6BF62F35-5625-48E9-B643-3D41B09B4638.html

BAB VII

Flowchart