ccitonline.com

بِسْمِ اللَّهِ الرَّحْمَنِ الرَّحِيْمِ

Assalaamu’alaikum wa rahmatullahi wa barakaatuh, Selamat Pagi, Siang, Sore, dan Malam Prof. Dai dan teman-teman sekalian yang berbahagia. Pada kesempatan kali ini, saya akan sedikit membahas mengenai bagaimana prinsip dan algoritma PINN dalam proses Heat Conduction 1D berlandaskan DAI5 Framework yang seringkali sudah kita pelajari dan pahami bersama sebelumnya.

Sedikit intermezzo, Physics-informed neural networks (PINNs) adalah suatu metode hibrida yang menggabungkan machine learning (ML), khususnya neural networks (NN), dengan prinsip fisika (hukum diferensial) sebagai informasi eksplisit dalam pelatihan model. Metode PINNs ini sendiri berbeda dengan dua metode yang umum digunakan sebelumnya, seperti FDM (Finite Difference Method) dan FEM (Finite Element Method)

Di sini, kita tidak akan membahas metode FDM dan FEM. Fokusan utama kita adalah bagaimana PINNs ini dapat bekerja sesuai dengan framework yang sudah kita pelajarin sebelumnya terhadap permasalahan dalam Heat Conduction 1D.

Deep Awareness of I

Pada pembahasan awal, kita sudah mengetahui apa itu PINNs, tapi sebagai manusia, khususnya kita sebagai seorang mahasiswa, tidak hanya semerta-merta mengetahui definisi dari PINNs itu sendiri. Kita harus mempunyai kesadaran bahwa saat ini perkembangan zaman sudah sangat maju dan ilmu pengetahuan sudah sangat berkembang sehingga kita tidak hanya memanfaatkan dari satu sumber pembelajaran saja, tetapi juga memanfaatkan hasil dari perkembangan teknologi itu sendiri, seperti artificial intelligence (AI).

kesadaran yang mendalam inilah pada akhirnya akan menghadirkan pertanyaan-pertanyaan kritis di dalam diri kita, seperti :

1. Bagaimana cara kita dapat mengintegrasikan hukum fisika ke dalam jaringan saraf (NN)?
2. Bagaimana cara membuat model yang sesuai dengan hukum konduksi panas?
3. Bagaimana PINNs mampu meminimalkan kesalahan-kesalahan terhadap hukum tersebut sambil mempelajari solusi dari persamaan diferensial parsial (PDE)?

Intention

Sejatinya, kita sebagai seorang mahasiswa harus mempunyai niat awal yang lurus ketika ingin mempelajari suatu ilmu khususnya dalam kita mempelajari PINNs ini. Kita sudah mengetahui bahwa metode PINNs ini berbeda dari metode-metode umum yang sering digunakan sebelumnya karena pada dasarnya PINNs ini sendiri berbasis dalam model machine learning sehingga tugas kita sekarang adalah bagaimana caranya mengintegrasikan hukum fisika langsung ke dalam model machine learning, bukan hanya bergantung pada data.

Dalam kasus Heat Conduction 1D berarti nantinya kita akan melakukan pemodelan estimasi temperatur u(x,t) secara presisi yang dimana model ini bertujuan memetakan input (x,t) ke output u(x,t), yaitu temperatur pada titik dan waktu tertentu. Data yang dihasilkan nantinya menghasilkan output yang sesuai dengan persamaan difusi panas :

ada beberapa keunggulan yang bisa kita peroleh dari penggunaan PINNs ini sendiri, seperti pada gambar di bawah ini.

Initial Thinking

Pada tahap ini, pemikiran awal akan mencakup pemahaman dasar terkait konduksi panas 1D dan bagaimana hal tersebut dapat diterjemahkan dalam konteks PINNs. Langkah pertama dalam pemikiran awal adalah memahami fenomena fisik yang sedang dipelajari. Pada konduksi panas 1D, kita berurusan dengan distribusi temperatur dalam medium sepanjang sumbu x, yang berubah terhadap waktu t.

Kita tahu bahwa persamaan diferensial parsial (PDE) dari konduksi panas 1D adalah :

dimana u(x,t) adalah temperatur pada posisi x dan waktu t, α adalah difusivitas termal, (∂u/∂t) adalah laju perubahan suhu terhadap waktu, (∂²u/∂x²) adalah kelengkungan suhu terhadap ruang (bagaimana suhu berubah terhadap jarak).

Tujuan dari kita melakukan pemikiran awal adalah kita akan mencari fungsi u(x,t) yang memenuhi PDE tersebut beserta kondisi batas dan awal.

Dua metode sebelumnya yang sudah sempat kita singgung, yakni FDM dan FEM memiliki beberapa keterbatasan, yakni :

1. Bergantung pada diskretisasi grid,
2. Butuh banyak perhitungan komputasi,
3. Tidak fleksibel untuk geometri kompleks atau dimensi tinggi

Pada akhirnya pemikiran awal ini akan menuntun kita pada sebuah pertanyaan “Dapatkah neural network secara kontinu memetakan (x,t)→u(x,t) dan sekaligus memenuhi hukum fisika?”

Idealization

Tahap idealiasi adalah dimana kita akan membangun model konseptual yang ideal berdasarkan pemikiran awal sebelumnya, menciptakan kerangka yang terstruktur, efektif, dan efisien dalam menyelesaikan masalah. Pada tahapan ini kita akan memiliki beberapa asumsi yang akan digunakan, yakni :

1. Neural network dapat mengaproksimasi fungsi suhu kontinu u(x,t) dengan presisi tinggi.
2. Kita menanamkan hukum fisika langsung ke dalam jaringan.
3. Model yang kita gunakan akan belajar tidak hanya dari data (seperti pada supervised learning), tetapi juga dari hukum fisika yang diwujudkan sebagai komponen loss function.

Neural network di sini digunakan untuk memodelkan fungsi solusi uθ(x,t) dengan parameter θ. Neural Network (NN) yang digunakan berbeda dengan NN yang biasanya, loss pada PINNs terdiri dari beberapa komponen :

1.Loss PDE (Fisika) : Menjamin bahwa solusi u_θ(x,t) memenuhi PDE.

2.Loss Kondisi Awal : Memastikan u_θ(x,0)=u₀(x)

3.Loss Kondisi Batas: Memastikan batas domain sesuai (misal: Dirichlet/Neumann)

nantinya akan didapatkan nilai total loss functionnya :

Instruction Set

Pada tahapan ini kita akan mencoba melakukan eksekusi proses perhitungannya dengan pertimbangan asumsi-asumsi yang diterapkan selama proses perhitungan :

a.Mendefinisikan Neural Network :

• Input : (x,t)
• Output : u_θ(x,t)
• Arsitektur: MLP (Multilayer Perceptron) dengan beberapa hidden layer, aktivasi (misal: tanh/ReLU)

b.Sampling Data Point :

• N_f​: Titik dalam domain untuk menguji PDE (collocation point)
• N₀​: Titik untuk kondisi awal
• N_b​: Titik untuk kondisi batas

c.Menghitung Turunan (Autodiff):

Kita akan menggunakan autodifferentiation untuk menghitung turunan parsial ∂u/∂t dan ∂²u/∂x²

d.Loss Function :

Nantinya kita akan menghitung nilai dari masing-masing komponen loss yang sudah dijelaskan pada tahapan Idealization di atas dan setelahnya akan menghitung kesemua nilai loss tersebut sebagai loss total.

e.Optimasi :

Kita akan melakukan optimasi parameter θ dengan gradient descent atau Adam optimizer. Kemudian akan dilakukan validasi nilai dengan data numerik atau analitik untuk memastikan output yang dihasilkan sudah sesuai dengan keinginan kita.

Kesimpulan

Physics-Informed Neural Networks (PINNs) merupakan pendekatan numerik modern berbasis deep learning yang menggabungkan data observasi dengan hukum-hukum fisika, seperti persamaan diferensial, sebagai bagian dari fungsi loss dalam proses pelatihan jaringan saraf. Metode ini menawarkan alternatif yang efisien dan fleksibel dibandingkan metode numerik tradisional seperti Finite Difference Method (FDM) dan Finite Element Method (FEM), karena tidak memerlukan proses meshing domain yang kompleks. Oleh karena itu, PINNs sangat cocok untuk menyelesaikan masalah dalam ruang berdimensi tinggi (high-dimensional problems) dan dapat diterapkan pada berbagai fenomena fisika, mulai dari dinamika fluida hingga perpindahan panas, dengan efisiensi komputasi yang lebih baik pada beberapa kasus.