Untuk mengerjakan Ax = b, kuncinya bukan menghafal rumus, tetapi memahami bagaimana mengubah A menjadi bentuk yang bisa ‘disubstitusi’ dengan cepat. Di bab ini mencakup inti LU, QR (Gram–Schmidt), serta mempercepat perhitungan determinan dan invers. Cukup sekali dekomposisi, sisanya tinggal substitution.

1. Sistem Persamaan Linear dalam bentuk matriks

Sistem tersebut ditulis sebagai Ax = b dengan:

• A: matriks koefisien (mxn),
• x: vektor variabel,
• b: vektor ruas kanan

Tujuan: Menemukan x secara efisien dan stabil secara numerik

2. Triangular systems and back-substitutions

Jika A sudah berbentuk segitiga atas (upper triangular) T, kita bisa menyelesaikan dari bawah ke atas (back-substitution):

Jika A segitiga bawah (lower triangular), lakukan forward-substitution dari atas ke bawah.

Kedua teknik inilah yang menjadi “mesin eksekusi” di balik dekomposisi LU/QR.

3. Reduction to triangular form

Karena sistem segitiga cenderung mudah diselesaikan, strategi yang umum digunakan adalah mengubah A menjadi bentuk segitiga, lalu melakukan substitusi. Dua cara yang banyak digunakan:

A. LU Decomposition

A = L U, dengan L segitiga bawah (biasanya diagonalnya 1) dan U segitiga atas. Menyelesaikan Ax=b menjadi dua langkah cepat:

• Ly=b (forward)
• Ux=y (back)

Catatan:

• Faktor L dan U diperoleh dengan algoritma seperti Doolittle (diagonal L = 1)
• Unik jika diberi syarat tambahan dan umumnya O(n³) waktu komputasi

B. QR Decomposition

A = Q E, dengan Q ortogonal (Q^TQ = I) dengan R segitiga atas.

Untuk Ax = b, kalikan kedua sisi dengan Q^T:

Rx = Q^Tb

Keunggulan: QR lebih stabil secara numerik untuk soal-soal yang “kondisinya kurang baik”, terutama bila memakai Householder/Givens atau modified Gram-Schmidt.

4. Gram-Schmidt (membangun Q dan R)

Diberi kolom-kolom a₁​,…,a_m dari A, Gram-Schmidt menghasilkan kolom ortonormal q₁,…,q_m (membentuk Q) dan koefisien R:

​Sketsa algoritma (versi termodifikasi/stabil):

Hasilnya: A = QR, dengan R berbentuk segitiga atas berisi koefisien proyeksi.

5. Determinan matriks secara efisien

Dekomposisi membuat determinan menjadi mudah:

LU (dengan diagonal L = 1):

QR:

Keduanya O(n³) tetapi jauh lebih stabil dari ekspansi kofaktor.

6. Inverse matriks lewat penyelesaian sistem

Untuk mendapatkan A^-1 (jika A bujursangkar dan invertibel), selesaikan

Ax_i = e_i (i = 1,…,n),

di mana e_i adalah vektor satuan. Kolom-kolom penyelesaian x_i membentuk A^-1. Praktiknya: Lakukan satu kali LU/QR, lalu ulangi substitusi untuk tiap e_i. Ini lebih efisien dari “rumus adjoint”.

7. Contoh kalkulator Linear Equation

🧮 Kalkulator Linear (LU / QR / det / invers)

1) Ukuran Matriks

n (bujursangkar): Buat/Perbarui Grid Muat Contoh 3×3

2) Masukkan Matriks A dan vektor b

3) Operasi

Selesaikan Ax=b (LU) Selesaikan Ax=b (QR) Tampilkan Q & R (QR) det(A) via LU Invers(A) Bersihkan Output

Hasil

---

Catatan pakai

1. Atur ukuran n, lalu klik Buat/Perbarui Grid.
2. Isi A dan b, atau klik Muat Contoh.
3. Tekan tombol operasi yang diinginkan. Pembulatan tampilan 4 desimal.