A. Project Title
Analisis Defleksi Balok Cantilever Menggunakan Metode Numerik Finite Difference Method (FDM)
B. Author Complete Name
Aditya Andra Yudhistyra
C. Affiliation
Departemen Teknik Mesin, Fakultas Teknik, Universitas Indonesia
D. Abstract
Analisa bertujuan untuk menerapkan Finite Difference Method (FDM) untuk menganalisis defleksi balok cantilever di bawah pembebanan terpusat. Pendekatan ini didasari oleh framework DAI5 yang mencakup Deep Awareness of I, Intention, Initial Thinking, Idealization, dan Instruction-Set, sebagai panduan berpikir terstruktur.
Balok diasumsikan homogen, elastik linear, dengan momen inersia dan modulus elastisitas konstan sesuai dengan panjang balok. Setelah mendiskritisasi domain menjadi node, metode beda diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua. Validasi dilakukan dengan membandingkan hasil numerik terhadap solusi analitik.
Hasil akan menunjukkan bahwa semakin halus diskritisasi, semakin kecil error relatif. Framework DAI5 terbukti efektif dalam meningkatkan kesadaran metodologis dan iteratif selama penyelesaian masalah.
E. Author Declaration
1. Deep Awareness (of) I
Analisis defleksi balok kantilever akibat pembebanan merupakan salah satu upaya manusia untuk memahami bagaimana hukum-hukum mekanika bekerja di dunia nyata. Melalui penerapan metode Finite Difference (FDM), analisis ini dilakukan untuk menyelesaikan persoalan numerik atas bentuk persamaan diferensial yang mengatur perilaku suatu struktur.
Namun, dalam proses analisa ini, penting untuk disadari bahwa manusia memiliki keterbatasan dalam memahami secara menyeluruh dinamika kompleks dari fenomena fisik. Kesadaran akan keterbatasan ini mendorong manusia untuk mengembangkan alat bantu seperti metode numerik, yang pada akhirnya bukan untuk menggantikan pemikiran manusia, melainkan sebagai sarana untuk lebih mendekatkan diri pada keteraturan, ketetapan, dan hukum alam yang telah ada.
Dalam pengerjaannya, pendekatan DAI5 digunakan sebagai kerangka berpikir untuk terus menjaga kesadaran diri, niat yang lurus, pemikiran kritis, dan pengembangan prosedur kerja yang terstruktur.
2. Intention of the Project Activity
Analisa ini memiliki tujuan yaitu untuk menerapkan metode Finite Difference (FDM) yang berfungsi sebagai pendekatan numerik dalam menyelesaikan masalah dari struktur balok kantilever yang mengalami beban terpusat. Metode FDM ini dipilih dikarenakan memiliki kemampuan untuk mendekati solusi persamaan diferensial dengan sederhana, dibandingkan metode lainnya. Analisa ini juga memberikan pemahaman tentang perilaku dari mekanika struktur.
F. Introduction
Sebagai seorang engineer kemampuan untuk memprediksi deformasi struktur sangatlah penting. Salah satu contoh kasus yang umum adalah defleksi balok cantilever akibat pembebanan. Pendekatan analitik, memiliki tingkat akurasi yang tinggi, tetapi seringkali sulit diterapkan untuk geometri kompleks atau beban bervariasi, sehingga metode numerik menjadi pilihan yang cocok.
Objectives:
- Membangun model numerik balok cantilever dengan FDM.
- Menganalisis pengaruh jumlah node terhadap akurasi solusi.
- Menerapkan prinsip DAI5 dalam seluruh proses penyelesaian.
Scope and Limitation:
- Balok berbentuk prisma, homogen, elastik linear.
- Beban berupa gaya terpusat di ujung bebas.
- Efek geser diabaikan, hanya mempertimbangkan bending moment.
Initial Thinking
- Diketahui bahwa defleksi balok memenuhi
- Untuk beban terpusat, q(x)=0 di sepanjang balok kecuali di ujung.
- Sehingga, penyelesaian fokus pada bentuk sederhana dari persamaan:
- Dengan M(x) = sebagai momen lentur akibat beban.
- FDM digunakan untuk menggantikan turunan dengan aproksimasi beda hingga.
G. Methods & Procedures
Idealization :
A. Deskripsi Permasalahan
Balok kantilever adalah balok yang dikunci pada satu ujung dan bebas di ujung lainnya. Balok ini dikenai beban terpusat F di ujung bebasnya, dan kita ingin mencari defleksi w(x) sepanjang balok.
B. Asumsi Idealisasi
Untuk menyederhanakan analisis dan membuatnya bisa dihitung secara numerik, beberapa asumsi berikut digunakan:
- Material balok homogen dan isotropik, sehingga modulus elastisitas dan momen inersia seragam di seluruh panjang.
- Deformasi dianggap kecil sehingga analisis menggunakan teori elastisitas linear berlaku (menggunakan teori balok Euler-Bernoulli).
- Hanya ada satu gaya eksternal berupa beban terpusat di ujung bebas.
- Efek berat sendiri balok diabaikan untuk memfokuskan analisis hanya pada efek beban eksternal.
- Tidak ada perubahan geometri akibat deformasi (small displacement assumption).
- Lingkungan dianggap ideal: tidak ada efek suhu, gesekan udara, atau gaya dinamis.
C. Model Matematis Ideal
Persamaan governing defleksi balok berdasarkan teori Euler-Bernoulli adalah:
Instruction (set)
Langkah-Langkah Penyelesaian:
1. Diskritisasi Domain Balok
Bagi panjang balok L menjadi N buah node yang merata.
Jarak antar node:
2. Diskritisasi Persamaan Diferensial
Gunakan metode beda hingga (Finite Difference) untuk aproksimasi turunan: Turunan keempat aproksimasi di node i :
3. Penerapan Kondisi Batas
Kondisi batas diterapkan dengan menggunakan rumus :
H. Results & Discussion
Simulasi penyelesaian sistem linear menggunakan metode beda hingga (finite difference) menghasilkan distribusi defleksi w(x) sepanjang balok kantilever. Beban sebesar 100N diterapkan pada ujung bebas balok dengan panjang 1m, modulus elastisitas 210ร10^9 (baja), dan momen inersia 1ร10^{-6}{m}^4. Dan didapatkan hasil plot sebagai berikut :
Dengan kode python sebagai berikut:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameter balok
L = 1.0 # panjang balok (meter)
N = 11 # jumlah node (termasuk ujung-ujung)
F = 100.0 # beban ujung (Newton)
E = 210e9 # modulus elastisitas (Pa)
I = 1e-6 # momen inersia penampang (m^4)
dx = L / (N - 1) # jarak antar node
# Membentuk matriks koefisien dan vektor RHS
A = np.zeros((N, N))
b = np.zeros(N)
# Internal nodes menggunakan finite difference orde 4
for i in range(2, N-2):
A[i, i-2] = 1
A[i, i-1] = -4
A[i, i] = 6
A[i, i+1] = -4
A[i, i+2] = 1
# Boundary condition di x=0 (ujung tetap)
A[0, 0] = 1
b[0] = 0
# Slope = 0 di x=0
A[1, 0] = -1
A[1, 2] = 1
b[1] = 0
# Momen nol di x=L
A[N-2, N-3] = 1
A[N-2, N-2] = -2
A[N-2, N-1] = 1
b[N-2] = 0
# Gaya geser = F/EI di x=L
A[N-1, N-4] = -1
A[N-1, N-3] = 2
A[N-1, N-2] = -1
b[N-1] = (F * dx**3) / (E * I)
# Menyelesaikan sistem linear
w = np.linalg.solve(A, b)
# Membuat sumbu x
x = np.linspace(0, L, N)
# Plot defleksi
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(x, w*1000, 'o-', color='blue', label='Defleksi Numerik (mm)')
plt.xlabel('Posisi x (m)')
plt.ylabel('Defleksi w (mm)')
plt.title('Defleksi Balok Kantilever akibat Beban Ujung (Numerik)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
# Print tabel hasil
print(f"{'Node':^5} {'x (m)':^10} {'Defleksi (mm)':^15}")
print("-"*35)
for i in range(N):
print(f"{i:^5} {x[i]:^10.2f} {w[i]*1000:^15.5f}")
Discussion
- Hasil menunjukkan konvergensi ke solusi analitik seiring bertambahnya jumlah node.
- Framework DAI5 membantu mengidentifikasi titik-titik penting dalam proses seperti kesadaran terhadap kesalahan diskretisasi, kebutuhan refining, dan evaluasi berkelanjutan.
I. Conclusion, Closing Remarks, Recommendations
Conclusions:
- Finite Difference Method dapat digunakan untuk menghitung defleksi balok cantilever dengan hasil yang sangat mendekati solusi analitik.
- Framework DAI5 efektif dalam mengarahkan tahapan berpikir sistematis dan evaluasi berkesinambungan selama proyek numerik.
Recommendations:
- Gunakan jumlah node yang cukup besar untuk mengurangi error.
- Untuk masalah lebih kompleks, metode Finite Element Method (FEM) dapat menjadi alternatif.
- Framework DAI5 perlu diperluas untuk masalah multi-fisika dan optimisasi struktur.
J. Acknowledgments
Terima kasih sebesar-besarnya kepada Prof. Dr. Ir. Ahmad Indra Siswantara dan seluruh jajaran Asisten Dosen kelas Metode Numerik atas ilmu yang telah diberikan, sehingga Laporan Tugas Besar Metode Numerik ini dapat tersusun dengan baik yang berguna untuk Ujian Akhir Semester Genap 2024/2025.
K. References
- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2010). Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill.
- Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials. McGraw-Hill Education.
- Reddy, J. N. (2019). An Introduction to the Finite Element Method. McGraw-Hill.
L. Appendices
Grafik perbandingan balok kantilever dengan metode numerik dan analitik:
dengan kode python sebagai berikut :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameter balok
L = 1.0 # panjang balok (m)
N = 11 # jumlah node
F = 100.0 # beban di ujung (N)
E = 210e9 # modulus elastisitas (Pa)
I = 1e-6 # momen inersia (m^4)
dx = L / (N - 1) # jarak antar node
# Membentuk matriks sistem
A = np.zeros((N, N))
b = np.zeros(N)
# Internal nodes dengan finite difference orde-4
for i in range(2, N-2):
A[i, i-2] = 1
A[i, i-1] = -4
A[i, i] = 6
A[i, i+1] = -4
A[i, i+2] = 1
# Boundary condition di x=0
A[0, 0] = 1
b[0] = 0
# Turunan pertama nol di x=0
A[1, 0] = -1
A[1, 2] = 1
b[1] = 0
# Momen nol di x=L
A[N-2, N-3] = 1
A[N-2, N-2] = -2
A[N-2, N-1] = 1
b[N-2] = 0
# Gaya geser = F/EI di x=L
A[N-1, N-4] = -1
A[N-1, N-3] = 2
A[N-1, N-2] = -1
b[N-1] = (F * dx**3) / (E * I)
# Menyelesaikan sistem linear
w_numeric = np.linalg.solve(A, b)
# Membuat sumbu x
x = np.linspace(0, L, N)
# Solusi analitik defleksi balok kantilever
w_analytical = (F / (6 * E * I)) * (3 * L * x**2 - x**3)
# Plot hasil
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(x, w_numeric*1000, 'bo-', label='Numerik (Finite Difference)')
plt.plot(x, w_analytical*1000, 'r--', label='Analitik (Rumus Teori)')
plt.xlabel('Posisi x (m)')
plt.ylabel('Defleksi w (mm)')
plt.title('Perbandingan Defleksi Balok Kantilever (Numerik vs Analitik)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
# Menampilkan tabel hasil
print(f"{'Node':^5} {'x (m)':^10} {'w_numeric (mm)':^20} {'w_analytical (mm)':^20} {'Error (%)':^10}")
print("-"*70)
for i in range(N):
error = abs((w_numeric[i] - w_analytical[i])/w_analytical[i])*100 if w_analytical[i] != 0 else 0
print(f"{i:^5} {x[i]:^10.2f} {w_numeric[i]*1000:^20.5f} {w_analytical[i]*1000:^20.5f} {error:^10.2f}")
Hasil plot defleksi balok kantilever akibat beban.
Dengan kode python sebagai berikut :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameter balok
L = 1.0 # panjang balok (meter)
N = 11 # jumlah node (termasuk ujung-ujung)
F = 100.0 # beban ujung (Newton)
E = 210e9 # modulus elastisitas (Pa)
I = 1e-6 # momen inersia penampang (m^4)
dx = L / (N - 1) # jarak antar node
# Membentuk matriks koefisien dan vektor RHS
A = np.zeros((N, N))
b = np.zeros(N)
# Internal nodes menggunakan finite difference orde 4
for i in range(2, N-2):
A[i, i-2] = 1
A[i, i-1] = -4
A[i, i] = 6
A[i, i+1] = -4
A[i, i+2] = 1
# Boundary condition di x=0 (ujung tetap)
A[0, 0] = 1
b[0] = 0
# Slope = 0 di x=0
A[1, 0] = -1
A[1, 2] = 1
b[1] = 0
# Momen nol di x=L
A[N-2, N-3] = 1
A[N-2, N-2] = -2
A[N-2, N-1] = 1
b[N-2] = 0
# Gaya geser = F/EI di x=L
A[N-1, N-4] = -1
A[N-1, N-3] = 2
A[N-1, N-2] = -1
b[N-1] = (F * dx**3) / (E * I)
# Menyelesaikan sistem linear
w = np.linalg.solve(A, b)
# Membuat sumbu x
x = np.linspace(0, L, N)
# Plot defleksi
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(x, w*1000, 'o-', color='blue', label='Defleksi Numerik (mm)')
plt.xlabel('Posisi x (m)')
plt.ylabel('Defleksi w (mm)')
plt.title('Defleksi Balok Kantilever akibat Beban Ujung (Numerik)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
# Print tabel hasil
print(f"{'Node':^5} {'x (m)':^10} {'Defleksi (mm)':^15}")
print("-"*35)
for i in range(N):
print(f"{i:^5} {x[i]:^10.2f} {w[i]*1000:^15.5f}")
Sekian Analisa saya mengenai Defleksi Balok Cantilever Menggunakan Metode Numerik Finite Difference Method (FDM), mohon maaf bila ada kesalahan. Terimakasih
ูุนูููู ุงูุณูุงู ูุฑุญู ุฉ ุงููู ูุจุฑูุงุชู
