A. Judul Proyek
Optimasi Desain Pressure Tank untuk Mencapai Biaya Produksi Minimum
B. Nama Lengkap Penulis
Haydar Yusfishiham. NPM 2406341881
C. Afiliasi
Departemen Teknik Mesin, Fakultas Teknik, Universitas Indonesia
D. Abstrak
Proyek ini membahas cara untuk mengoptimalkan biaya produksi untuk desain bejana tekanan atau pressure vessel tanpa membahayakan keamanan yang terkait dengan benda yang mengalami stress tinggi. Permasalahan dianalisis menggunakan framework DAI5 yang terdiri dari Deep Awareness of I, Intention, Initial Thinking, Idealization, dan Instruction Set. Variabel desain utama yang menjadi masalah optimisasi adalah radius, panjang, dan ketebalan silinder dengan ujung setengah bola yang akan menjadi bentuk bejana tekanan.
Biaya produksi dimodelkan sebagai fungsi deret aritmatika yang terdiri dari tiga suku yang merepresentasikan tiga faktor yang dapat mempengaruhi biaya akhir. Faktor-faktor tersebut adalah 1) biaya dasar manufaktur untuk semua desain, seperti biaya gaji buruh pabrik, 2) biaya material yang bergantung terhadap volume materia yang akan menjadi bagian penahan bejana tekana, 3) biaya pengelasan yang terkait dengan luas area pengelasan yang berada pada sisi datar silinder dan kedua ujungnya.
E. Deklarasi Penulis
1. Deep Awareness of I
Dalam mengerjakan proyek ini, saya menyadari bahwa saya sebagai mahasiswa ilmu teknik mesin, harus punya kemampuan untuk mendesain sistem dan barang yang memiliki nilai guna bagi manusia sebagai rasa terimakasih terhadap anugerah kemampuan berakal dari Allah SWT. Dalam proses mendesain saya harus tetap ingat untuk selalu mementingkan keamanan desain untuk tidak membahayakan dan melukai makhluk-makhluk ciptaanNya.
Framework DAI5 membantu saya untuk lebih memahai proses pembelajaran dengan membangun pola pikir yang sistematis, kritis, dan bertanggung jawab. Dengan adanya kesadaran tersebut, saya menjadi lebih berhati-hati dalam membuat asumsi, menyusun model, serta menginterpretasikan hasil analisis.
2. Niat Kegiatan Proyek
Tujuan kegiatan proyek ini adalah untuk melakukan efisiensi sumber daya demi kelestarian alam sekaligus menjaga keamanan pressure vessel. Penggunaan material yang berlebihan adalah bentuk pemborosan, sementara desain yang terlalu tipis membahayakan jiwa manusia. Oleh karena itu, optimasi ini adalah upaya untuk mencari titik keseimbangan terbaik antara penghematan dan keselamatan sekaligus menjaga fungsi.
F. Pendahuluan
Pressure Vessel atau bejana tekanan adalah suatu benda yang sudah banyak ditemui di zaman modern ini. Contoh yang dapat ditemukan sehari-hari adalah gas tabung LPG, tabung oksigen, tabung kompressor pompa ban, tabung penyimpan tekanan rem udara pada truk, dan lain-lain. Tekanan yang dialami bejana tekanan harus diperhitungkan dengan benar sehingga desain dan pemilihan materialnya mampu untuk menahan tekanan yang disimpan
Pemikiran Awal tentang Masalah
Dalam proses desain, salah satu kriteria yang diinginkan untuk dicapai pasti adalah untuk meminimalisir biaya dan penggunaan material untuk mengurangi pemborosan dan menghasilkan produk yang mampu berkompetisi di pasar dengan harga yang ekonomis. Namun karena bahaya keamanan yang dapat ditimbulkan tekanan yang tersimpan, maka kekuatan material bejana tekanan harus mampu untuk menahan stress yang dialami dan mencegah kejadian failure yang dapat menyebakan luka dan kematian.
G. Metode dan Langkah-langkah
1. Idealisasi
Biaya akan saya modelkan menggunakan sebagai fungsi terhadap radius, panjang, dan ketebalan plat. Ini menjadi masalah optimisasi multi-dimensional yang dapat ditemukan dengan memberikan tebakan awal untuk ketiga variabel radius, panjang, dan tebal. Lalu menggunakan metode gradien untuk mencari arah dengan gradien terbesar lalu mengevaluasi parameter variabel baru menggunakan Hessian untuk menentukan apakah titik optimum telah ditemukan secara iteratif.
Langkah pertama saya adalah untuk menghitung volume material yang digunakan, yang telah dirumuskan sebagai berikut:
Lalu digabungkan sehingga akan menghasilkan rumus total volume sebagai berikut:
Langkah kedua adalah menghitung luas area pengelasan, ini akan saya modelkan sebagai fungsi terhadap ketebalan dan panjang sehingga dirumuskan:
Langkah ketida adalah untuk membuat fungsi objektif harga (C) dari tiga suku, untuk biaya dasar manufaktur (K1), biaya material (K2) dan biaya pengelasan (K3), sehingga biaya dirumuskan sebagai berikut:
Langkah keempat adalah untuk mendefinisikan beberapa konstrain sehingga nilai-nilai variabel tidak menjadi nol. Konstrain pertama adalah konstrain stress yang tidak boleh melebihi kekuatan material. Stress paling basar untuk bejanan tekanan adalah stress hoop yang didefinisikan dengan rumus:
Kemudian ada pula bahwa bejana tekanan merupakan thin-wall pressure vessel sehingga rasio perbandingan radius dengan ketebalan harus lebih dari 10. Kedua konstrain ini akan membatasi bentuk yang harus dipenuhi agar hasil optimasi sesuai dengan kondisi fisik nyata. Maka kedua konstrain dapat ditulis sebagai berikut, dengan SF sebagai safety factor.
2. Instruksi
Mengoptimasi permsalahan ini dapat menggunakan kode pemrograman MATLAB. Dalam MATLAB, terdapat fungsi “fmincon” (Find Minimum of Constrained Non-Linear Multivariable Function) yang mampu untuk mengoptimasi masalah multi-dimensional terkonstrain. fmincon berkerja menggunakan metode gradien secara iteratif untuk menemukan arah dengan gradien tertinggi lalu memindahkan variabel-variabel awal menuju variable baru. Proses ini dilakukan berulang kali hingga perhitungan first-order optimality, yaitu seberapa dekat perhitungan mendekati nilai optimum, dibawah 1*10^-6.
Untuk meragakan pengoptimisasi metode numerik, akan dilakukan suatu permisalan kasus suatu bejana tekanan menggunakan baja ASTM A516 Grade 60 dengan spesifikasi:
Volume (V) = 25 m3
Tekanan (P) = 3 MPa
ฯmax = 415 MPa
K1 (biaya dasar) = 5000
K2 (biaya material) = 8500
K3 (biaya las) = 12000
Safety factor (SF) = 4.
Dari disini kita dapat mendefinisikan bahwa ฯmax setelah memperhitungkan safety factor adalah: 415/3 = 103 MPa.
Maka semua ini perlu diimplementasikan ke MATLAB seperti pemodelan fungsi objektif serta konstrain-konstrain dengan tebakan awal tebakan awal r = 1.5m, L = 3.0m, dan t = 0.05m, sehingga komputer akan melakukan iterasi sesuasi dengan kriteria yang diberikan.
| Iteration | f(x) | First-order Optimality |
| 0 | 3.648805e+04 | 2.167e+03 |
| 1 | 5.859604e+03 | 9.565e+06 |
| 2 | 2.517892e+04 | 5.516e+05 |
| 3 | 2.197210e+04 | 3.571e+05 |
| 4 | 2.305884e+04 | 3.155e+05 |
| 5 | 2.250446e+04 | 3.992e+05 |
| 6 | 2.248737e+04 | 1.149e+04 |
| 7 | 2.246733e+04 | 2.257e+03 |
| 8 | 2.248911e+04 | 4.580e+02 |
| 9 | 2.248915e+04 | 3.509e+01 |
| 10 | 2.248915e+04 | 3.590e-01 |
H. Hasil dan Diskusi
Optimal Radius (r) : 0.7790 m
Optimal Length (L) : 12.0748 m
Optimal Thickness (t) : 0.0227 m (22.69 mm)
Total Minimum Cost (C) : 22489.15Dari sini didapatkan hasil optimasi multidimensional bejana tekanan untuk meminimalisir biaya (C). Validasi perlu dilakukan untuk memastikan bahwa hasil tetap memenuhi kriteria keamanan desain sesuai detail konstrain stress.
Dapat terlihat bahwa stress hoop masih dibawah stress yang diperbolehkan oleh material dan safety factor sebesar 103, sehingga menunjukkan bahwa pengoptimasi metode numerik mampu meminimalisir biaya dan masih mememnuhi kriteria keamanan.
Namun model ini memiliki beberapa keterbatasan, yang paling besar adalah asumsi dimensi yang memiliki nilai kontinu sehingga menghasilkan nilai-nilai yang memiliki desimal kecil, sedangkan dalam prakteknya pelat umumnya diproduksi dengan ketentuan ukuran panjang, lebar dan ketebalan yang bersifat diskrit sehingga nilai biaya akan lebih tinggi dari model optimisasi.
Model ini juga mengasumsikan sederhana stress yang dialami bejana, mengabaikan stress bending lokal yang terjadi pada sambungan geometris di mana bagian silinder bertemu dengan penutup ujung setengah bola, sehingga model masih perlu perbaikan untuk memastikan keamanan desain yang jauh lebih kompleks dari stress hoop.
I. Kesimpulan
Model numerik dapat berfungsi sebagai kerangka dasar yang sangat baik untuk optimasi teknik. Model ini menunjukkan bagaimana konstrain berinteraksi untuk menyelesaikan masalah bentuk geometris yang realistis. Namun untuk menerapkan dari simulasi metode numerik menjadi kondisi nyata lapangan, model ini harus ditingkatkan untuk menangani kondisi pelat diskrit, persamaan tegangan multi-arah, dan biaya volume pengelasan yang lebih kompleks.
J. Ucapan Terima Kasih
Saya ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Prof. DAI selaku dosen mata kuliah Metode Numerik 03 yang telah membantu pengerjaan proyek ini melalui framework DAI5 yang membantu memahami proses penyelesaian masalah optimisasi dengan lebih sistematis, dan terstruktur.
Terima kasih juga kepada teman-teman mahasiswa yang telah memberikan diskusi dan masukan selama proses pengerjaan proyek.
K. Daftar Pustaka
- ASTM International. (2015). Standard specification for pressure vessel plates, carbon steel, for moderate- and lower-temperature service (ASTM A516/A516M-10(2015)). https://store.astm.org/a0516_a0516m-10r15.html
- CEI. (n.d.). ASME standards. Think Tank. https://info.thinkcei.com/think-tank/asme-standards
L. Lampiran
A. Kode Optimasi MATLAB
function optimize_pressure_vessel()
% ==========================================
% MAIN OPTIMIZATION ROUTINE
% ==========================================
clear; clc;
% Cost Coefficients (K1: Fixed, K2: Material, K3: Welding)
K1 = 5000;
K2 = 8500;
K3 = 12000;
% Initial Guess: [radius (r), length (L), thickness (t)]
% Starting with a reasonable cylindrical guess (r = 1.5m, L = 3.0m, t = 0.05m)
x0 = [1.5, 3.0, 0.05];
% Lower Bounds to prevent non-physical geometric values
% r > 0.1m, L >= 0m, t > 0.001m
lb = [0.1, 0.0, 0.001];
ub = []; % No upper bounds needed
% Optimization Options (Using Interior-Point Algorithm)
options = optimoptions('fmincon', ...
'Display', 'iter-detailed', ...
'Algorithm', 'interior-point', ...
'OptimalityTolerance', 1e-6, ...
'ConstraintTolerance', 1e-6);
% Execute the numerical optimization
[x_opt, cost_opt, exitflag, output] = fmincon(...
@(x) objective_function(x, K1, K2, K3), ... % Objective function handle
x0, ... % Initial guess
[], [], ... % Linear inequalities (none)
[], [], ... % Linear equalities (none)
lb, ub, ... % Bounds
@nonlinear_constraints, ... % Non-linear constraints handle
options);
% ==========================================
% DISPLAY OPTIMIZED RESULTS
% ==========================================
if exitflag > 0
r_opt = x_opt(1);
L_opt = x_opt(2);
t_opt = x_opt(3);
diameter = 2 * r_opt;
aspect_ratio = L_opt / diameter;
fprintf('\n=======================================\n');
fprintf(' OPTIMIZATION RESULTS (SUCCESS) \n');
fprintf('=======================================\n');
fprintf('Optimal Radius (r) : %.4f m\n', r_opt);
fprintf('Optimal Length (L) : %.4f m\n', L_opt);
fprintf('Optimal Thickness (t) : %.4f m (%.2f mm)\n', t_opt, t_opt * 1000);
fprintf('---------------------------------------\n');
fprintf('Total Minimum Cost (C) : $%.2f\n', cost_opt);
fprintf('Vessel Diameter (D) : %.4f m\n', diameter);
fprintf('Aspect Ratio (L/D) : %.4f\n', aspect_ratio);
if L_opt < 1e-3
fprintf('Vessel Geometry Profile : Sphere\n');
else
fprintf('Vessel Geometry Profile : Cylinder with Hemispherical Heads\n');
end
fprintf('=======================================\n');
else
warning('The solver could not find an optimal solution convergence.');
end
end
% ==========================================
% OBJECTIVE FUNCTION (COST MODEL)
% ==========================================
function C = objective_function(x, K1, K2, K3)
r = x(1);
L = x(2);
t = x(3);
% Derived formula from your provided image:
% C = K1 + K2*(Material Volume) + K3*(Weld Area)
C = K1 + K2 * (2 * pi * r * t * (L + 2 * r)) + K3 * ((L + 2 * pi * r) * t);
end
% ==========================================
% NON-LINEAR CONSTRAINTS
% ==========================================
function [c, ceq] = nonlinear_constraints(x)
r = x(1);
L = x(2);
t = x(3);
% Design Criteria Constants
P = 3.0; % Design Pressure (MPa)
sigma_max = 103; % Max Allowable Hoop Stress (MPa)
V_target = 25; % Target Volume (m^3)
% 1. Inequality Constraint: c(x) <= 0
% c(1): Hoop stress constraint: (P * r / t) <= 103 MPa
c(1) = (P * r / t) - sigma_max;
% c(2): Thin-wall geometric constraint (r >= 10t) -> (10t - r <= 0)
c(2) = (10 * t) - r;
% 2. Equality Constraint: ceq(x) == 0
% Total internal volume (cylinder + 2 hemispheres) = V_target
ceq = (pi * r^2 * L) + ((4/3) * pi * r^3) - V_target;
end