Masalah: Menyelesaikan akar persamaan f(x) = x² – 2 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson

1. DAI (Deep Awareness of I)

• Sadari bahwa mencari akar persamaan adalah bagian dari memahami keteraturan matematika yang telah diciptakan oleh Sang Pencipta.
• Ilmu numerik adalah alat untuk mendekati solusi yang mungkin tidak dapat diperoleh secara eksak.
• Pastikan kesadaran bahwa proses ini tidak hanya tentang mendapatkan angka, tetapi juga tentang memahami bagaimana solusi ditemukan.

2. Intention (Niat yang Jelas)

• Tujuan: Mencari akar persamaan x2−2=0x^2 – 2 = 0x2−2=0 dengan metode Newton-Raphson.
• Niat: Memahami metode iteratif untuk mendekati solusi numerik dengan kesadaran akan konsep konvergensi dan kesalahan.
• Konteks Aplikasi: Ini bisa diterapkan dalam perhitungan teknik, seperti mencari panjang gelombang dalam mekanika fluida atau menentukan nilai optimal dalam desain struktur.

3. Initial Thinking (Pemikiran Awal & Analisis)

• Diketahui:
  • Persamaan: f(x)=x2−2f(x) = x^2 – 2f(x)=x2−2
  • Turunan: f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x
  • Metode yang digunakan: Newton-Raphson dengan rumus iterasi: xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​
• Analisis Metode:
  • Metode Newton-Raphson membutuhkan tebakan awal yang cukup baik agar cepat konvergen.
  • Untuk f(x)=x2−2f(x) = x^2 – 2f(x)=x2−2, akar sebenarnya adalah 2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.4142​≈1.414.
  • Pilih x0=1.5x_0 = 1.5×0​=1.5 sebagai tebakan awal.

4. Idealization (Membuat Model Ideal)

• Gunakan iterasi Newton-Raphson dengan toleransi kesalahan 10−610^{-6}10−6.
• Gunakan pendekatan komputasi untuk menemukan solusi numerik yang cukup akurat.
• Pastikan metode konvergen dengan memeriksa perubahan nilai pada setiap iterasi.

5. Instruction Set (Instruksi Set & Implementasi dalam Python)

Berikut adalah implementasi metode Newton-Raphson dalam Python:

pythonSalin kodeimport numpy as np

# Definisi fungsi dan turunannya
def f(x):
    return x**2 - 2

def df(x):
    return 2*x

# Tebakan awal
x_n = 1.5
tolerance = 1e-6
max_iter = 100
iteration = 0

# Iterasi Newton-Raphson
while abs(f(x_n)) > tolerance and iteration < max_iter:
    x_n = x_n - f(x_n) / df(x_n)
    iteration += 1
    print(f"Iterasi {iteration}: x = {x_n}")

# Hasil akhir
print(f"Akar numerik yang ditemukan: {x_n}")
print(f"Error: {abs(x_n - np.sqrt(2))}")

Kesimpulan

• Hasil: Metode Newton-Raphson dengan tebakan awal 1.5 akan konvergen menuju 2≈1.414213\sqrt{2} \approx 1.4142132​≈1.414213.
• Makna DAI5 dalam pemecahan masalah ini:
  • Kesadaran mendalam (DAI): Memahami bahwa metode numerik adalah cara untuk mendekati solusi yang ada dalam keteraturan ciptaan-Nya.
  • Niat yang benar: Belajar dan menerapkan metode dengan tujuan memahami proses iteratif dalam numerik.
  • Pemikiran awal: Memilih metode yang tepat dan menganalisis kebutuhan konvergensi.
  • Idealasi: Menentukan batas kesalahan dan kondisi iterasi agar solusi mendekati nilai eksak.
  • Instruksi set: Menjalankan algoritma dengan langkah-langkah terstruktur menggunakan pemrograman.

Dengan pendekatan DAI5, belajar dan memahami Metoda Numerik menjadi lebih terarah dan bermakna, bukan sekadar hitungan, tetapi juga refleksi terhadap keteraturan ciptaan Sang Pencipta.

ChatGPT dapat membuat kesalahan.

4. Idealization (Membuat Model Ideal)

• Gunakan iterasi Newton-Raphson dengan toleransi kesalahan 10−610^{-6}10−6.
• Gunakan pendekatan komputasi untuk menemukan solusi numerik yang cukup akurat.
• Pastikan metode konvergen dengan memeriksa perubahan nilai pada setiap iterasi.

5. Instruction Set (Instruksi Set & Implementasi dalam Python)

Berikut adalah implementasi metode Newton-Raphson dalam Python:

pythonSalin kodeimport numpy as np

# Definisi fungsi dan turunannya
def f(x):
    return x**2 - 2

def df(x):
    return 2*x

# Tebakan awal
x_n = 1.5
tolerance = 1e-6
max_iter = 100
iteration = 0

# Iterasi Newton-Raphson
while abs(f(x_n)) > tolerance and iteration < max_iter:
    x_n = x_n - f(x_n) / df(x_n)
    iteration += 1
    print(f"Iterasi {iteration}: x = {x_n}")

# Hasil akhir
print(f"Akar numerik yang ditemukan: {x_n}")
print(f"Error: {abs(x_n - np.sqrt(2))}")

Kesimpulan

• Hasil: Metode Newton-Raphson dengan tebakan awal 1.5 akan konvergen menuju 2≈1.414213\sqrt{2} \approx 1.4142132​≈1.414213.
• Makna DAI5 dalam pemecahan masalah ini:
  • Kesadaran mendalam (DAI): Memahami bahwa metode numerik adalah cara untuk mendekati solusi yang ada dalam keteraturan ciptaan-Nya.
  • Niat yang benar: Belajar dan menerapkan metode dengan tujuan memahami proses iteratif dalam numerik.
  • Pemikiran awal: Memilih metode yang tepat dan menganalisis kebutuhan konvergensi.
  • Idealasi: Menentukan batas kesalahan dan kondisi iterasi agar solusi mendekati nilai eksak.
  • Instruksi set: Menjalankan algoritma dengan langkah-langkah terstruktur menggunakan pemrograman.

Dengan pendekatan DAI5, belajar dan memahami Metoda Numerik menjadi lebih terarah dan bermakna, bukan sekadar hitungan, tetapi juga refleksi terhadap keteraturan ciptaan Sang Pencipta.

np

Definisi fungsi dan turunannya

def f(x):
return x**2 – 2

def df(x):
return 2*x

Tebakan awal

x_n = 1.5
tolerance = 1e-6
max_iter = 100
iteration = 0

Iterasi Newton-Raphson

while abs(f(x_n)) > tolerance and iteration < max_iter:
x_n = x_n – f(x_n) / df(x_n)
iteration += 1
print(f”Iterasi {iteration}: x = {x_n}”)

Hasil akhir

print(f”Akar numerik yang ditemukan: {x_n}”)
print(f”Eror: {abs(x_n – np.sqrt(2))}”)

Kesimpulan

• Hasil: Metode Newton-Raphson dengan tebakan awal 1.5 akan konvergen menuju 2≈1.414213\sqrt{2} \approx 1.4142132​≈1.414213.
• Makna DAI5 dalam pemecahan masalah ini:
  • Kesadaran mendalam (DAI): Memahami bahwa metode numerik adalah cara untuk mendekati solusi yang ada dalam keteraturan ciptaan-Nya.
  • Niat yang benar: Belajar dan menerapkan metode dengan tujuan memahami proses iteratif dalam numerik.
  • Pemikiran awal: Memilih metode yang tepat dan menganalisis kebutuhan konvergensi.
  • Idealasi: Menentukan batas kesalahan dan kondisi iterasi agar solusi mendekati nilai eksak.
  • Instruksi set: Menjalankan algoritma dengan langkah-langkah terstruktur menggunakan pemrograman.

Dengan pendekatan DAI5, belajar dan memahami Metoda Numerik menjadi lebih terarah dan bermakna, bukan sekadar hitungan, tetapi juga refleksi terhadap keteraturan ciptaan Sang Pencipta.